十三、坐标系与参数方程一、单选题1．（·北京（理））已知直线l的参数方程为x=1+3t,y=2+4t（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是A．15 B．25 C．45 D．65二、解答题2．（全国（文））在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=22cosθ．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为1,0，M为C上的动点，点P满足AP=2AM，写出Р的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．3．（全国（理））在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为，半径为1．（1）写出⊙C的一个参数方程;（2）过点F4,1作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．4．（江苏）在极坐标系中，已知点A(ρ1,π3)在直线l:ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C:ρ=4sinθ上（其中，0≤θ<2π）．（1）求ρ1，ρ2的值（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．5．（全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2-t-t2，y=2-3t+t2 (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.6．（全国（理））在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ-16ρsinθ+3=0．（1）当k=1时，C1是什么曲线？（2）当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．7．（全国（理））已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：x=t+1t,y=t-1t（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.8．（·江苏）在极坐标系中，已知两点A3,π4,B2,π2，直线l的方程为ρsinθ+π4=3.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.9．（·全国（理））如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,π4)，C(2,3π4)，D(2,π)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,π2)，(1,π)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD.（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|=3，求P的极坐标.10．（·全国（文））在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.（1）当θ0=π3时，求ρ0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.11．（·全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1-t21+t2，y=4t1+t2（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ+11=0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．12．（江苏）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(π6-θ)=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．13．（全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=kx+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.14．（全国（理））在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x=cosθ，y=sinθ（θ为参数），过点0 ， -2且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A ， B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．15．（全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosθy=4sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为x=1+tcosαy=2+tsinα（t为参数）.（1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为1,2，求l的斜率．16．（2017·全国（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cosθ,y=sinθ,（θ为参数），直线l的参数方程为x=a+4t,y=1-t,（t为参数）．（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．17．（2017·全国（理））在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt,（t为参数），直线l2的参数方程为x=-2+m,y=mk,（m为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3:ρcosθ+sinθ-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径.18．（2017·全国（理））在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P段OM上，且满足OM⋅OP=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为2,π3，点B在曲线C2上，求ΔABO面积的最大值．19．（2017·全国（理））在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P段OM上，且满足OM⋅OP=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为2,π3，点B在曲线C2上，求ΔABO面积的最大值．20．（2017·江苏）已知直线l的参考方程为x=-8+ty=t2（t为参数）,曲线C的参数方程为x=2s2,y=22s（s为参数）．设p为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值三、填空题21．（·天津（理））设a∈R，直线ax-y+2=0和圆x=2+2cosθ,y=1+2sinθ（θ为参数）相切，则a的值为____.22．（北京（理））在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切，则a=__________．23．（天津（理））已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C，直线x=-1+22t,y=3-22t（t为参数）与该圆相交于A、B两点，则ΔABC的面积为___________.24．（2017·天津（理））在极坐标系中，直线y=-14与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为___________.25．（2017·北京（理））在极坐标系中，点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为1,0，则AP的最小值为__________．近五年（2017-2021）高考数学真题类汇编十三、坐标系与参数方程（答案解析）1．D【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.直线l的普通方程为4x-1-3y-2=0,即4x-3y+2=0,点1,0到直线l的距离d=|4-0+2|42+32=65,故选D.【小结】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.2．（1）x-22+y2=2；（2）P的轨迹C1的参数方程为x=3-2+2cosθy=2sinθ（θ为参数），C与C1没有公共点.【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得；（2）设Px,y，设M2+2cosθ,2sinθ，根据向量关系即可求得P的轨迹C1的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.（1）由曲线C的极坐标方程ρ=22cosθ可得，将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得，即x-22+y2=2，即曲线C的直角坐标方程为x-22+y2=2；（2）设Px,y，设M2+2cosθ,2sinθAP=2AM，∴x-1,y=22+2cosθ-1,2sinθ=2+2cosθ-2,2sinθ，则x-1=2+2cosθ-2y=2sinθ，即x=3-2+2cosθy=2sinθ，故P的轨迹C1的参数方程为x=3-2+2cosθy=2sinθ（θ为参数）∵曲线C的圆心为2,0，半径为2，曲线C1的圆心为3-2,0，半径为2，则圆心距为3-22，∵3-22<2-2，∴两圆内含，故曲线C与C1没有公共点.【小结】本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M的参数坐标，利用向量关系求解.3．（1）x=2+cosαy=1+sinα，（α为参数）；（2）2ρcos(θ+π3)=4-3或2ρcos(θ-π3)=4+3.【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.（1）由题意，⊙C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1，所以⊙C的参数方程为x=2+cosαy=1+sinα，（α为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即kx-y+1-4k=0，由圆心到直线的距离等于1可得|-2k|1+k2=1，解得k=±33，所以切线方程为3x-3y+3-43=0或3x+3y-3-43=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得2ρcos(θ+π3)=4-3或2ρcos(θ-π3)=4+3【小结】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.4．（1）ρ1=4，ρ2=2（2）(22,π4)【分析】(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，∵ρ1cosπ3=2,∴ρ1=4，因为点B为直线θ=π6上，故其直角坐标方程为y=33x，又ρ=4sinθ对应的圆的直角坐标方程为：x2+y2-4y=0，由&y=33x&x2+y2-4y=0解得&x=0&y=0或&x=3&y=1， 对应的点为0,0,3,1，故对应的极径为ρ2=0或ρ2=2.（2）∵ρcosθ=2,ρ=4sinθ,∴4sinθcosθ=2,∴sin2θ=1，∵θ∈[0,2π),∴θ=π4,5π4，当θ=π4时ρ=22；当θ=5π4时ρ=-22<0，舍；即所求交点坐标为当(22,π4),【小结】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.5．（1）410（2）3ρcosθ-ρsinθ+12=0【分析】（1）由参数方程得出A,B的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB的值；（2）由A,B的坐标得出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.（1）令x=0，则t2+t-2=0，解得t=-2或t=1（舍），则y=2+6+4=12，即A(0,12).令y=0，则t2-3t+2=0，解得t=2或t=1（舍），则x=2-2-4=-4，即.∴AB=(0+4)2+(12-0)2=410；（2）由（1）可知kAB=12-00-(-4)=3，则直线AB的方程为y=3(x+4)，即3x-y+12=0.由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得，直线AB的极坐标方程为3ρcosθ-ρsinθ+12=0.【小结】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.6．（1）曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）(14,14).【分析】（1）利用sin2t+cos2t=1消去参数t，求出曲线C1的普通方程，即可得出结论；（2）当k=4时，x≥0,y≥0，曲线C1的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数t，得C1普通方程，由ρcosθ=x,ρsinθ=y，将曲线 C2化为直角坐标方程，联立C1,C2方程，即可求解.（1）当k=1时，曲线C1的参数方程为x=costy=sint(t为参数），两式平方相加得x2+y2=1，所以曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当k=4时，曲线C1的参数方程为为参数）， 所以x≥0,y≥0，曲线C1的参数方程化为为参数），两式相加得曲线C1方程为x+y=1，得y=1-x，平方得y=x-2x+1,0≤x≤1,0≤y≤1，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ-16ρsinθ+3=0，曲线C2直角坐标方程为4x-16y+3=0，联立C1,C2方程y=x-2x+14x-16y+3=0，整理得12x-32x+13=0，解得x=12或 x=136（舍去），∴x=14,y=14，∴C1,C2公共点的直角坐标为 (14,14).【小结】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.7．（1）C1:x+y=40≤x≤4；C2:x2-y2=4；（2）ρ=175cosθ.【分析】（1）分别消去参数θ和t即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.（1）由cos2θ+sin2θ=1得C1的普通方程为：x+y=40≤x≤4；由x=t+1ty=t-1t得：x2=t2+1t2+2y2=t2+1t2-2，两式作差可得C2的普通方程为：x2-y2=4.（2）由x+y=4x2-y2=4得：x=52y=32，即P52,32；设所求圆圆心的直角坐标为a,0，其中a>0，则a-522+0-322=a2，解得：a=1710，∴所求圆的半径r=1710，∴所求圆的直角坐标方程为：x-17102+y2=17102，即x2+y2=175x，∴所求圆的极坐标方程为ρ=175cosθ.【小结】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.8．（1）5；（2）2.【分析】(1)由题意，在△OAB中，利用余弦定理求解AB的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线l的距离.（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，π4），B（2，π2），由余弦定理，得AB=32+(2)2-2×3×2×cos(π2-π4)=5.（2）因为直线l的方程为ρsin(θ+π4)=3，则直线l过点(32,π2)，倾斜角为3π4．又B(2,π2)，所以点B到直线l的距离为(32-2)×sin(3π4-π2)=2.【小结】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．9．(1) ρ=2cosθ(θ∈[0,π4]),ρ=2sinθ(θ∈[π4,3π4]),ρ=-2cosθ(θ∈[3π4,π]),(2) (3,π6),(3,π3),(3,2π3),(3,5π6).【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标.(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.M1:ρ=2cosθ(θ∈[0,π4])，M2:ρ=2cos(θ-π2)=2sinθ(θ∈[π4,3π4]),M3:ρ=2cos(θ-π)=-2cosθ(θ∈[3π4,π]).(2)解方程2cosθ=3(θ∈[0,π4])得θ=π6，此时P的极坐标为(3,π6)解方程2sinθ=3(θ∈[π4,3π4])得θ=π3或θ=2π3，此时P的极坐标为(3,π3)或(3,2π3)解方程-2cosθ=3(θ∈[3π4,π])得θ=5π6，此时P的极坐标为(3,5π6)故P的极坐标为(3,π6),(3,π3),(3,2π3),(3,5π6).【小结】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.10．（1），l的极坐标方程为；（2）ρ=4cosθ(π4≤θ≤π2)【分析】（1）先由题意，将θ0=π3代入ρ=4sinθ即可求出ρ0；根据题意求出直线l的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.（1）因为点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上，所以ρ0=4sinθ0=4sinπ3=23；即M(23,π3)，所以kOM=tanπ3=3，因为直线l过点A(4,0)且与OM垂直，所以直线l的直角坐标方程为y=-33(x-4)，即x+3y-4=0；因此，其极坐标方程为ρcosθ+3ρsinθ=4，即l的极坐标方程为；（2）设P(x,y)，则kOP=yx， kAP=yx-4，由题意，OP⊥AP，所以kOAP=-1，故y2x2-4x=-1，整理得，因为P段OM上，M在C上运动，所以0≤x≤2,0≤y≤2，所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ(π4≤θ≤π2).【小结】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.11．（1）C:x2+y24=1,x∈(-1,1]；l:2x+3y+11=0；（2）7【分析】（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.（1）由x=1-t21+t2得：t2=1-x1+x≥0,x∈(-1,1]，又y2=16t21+t22∴y2=16×1-x1+x1+1-x1+x2=41+x1-x=4-4x2整理可得C的直角坐标方程为：x2+y24=1,x∈(-1,1]又x=ρcosθ，y=ρsinθ∴l的直角坐标方程为：2x+3y+11=0（2）设C上点的坐标为：cosθ,2sinθ则C上的点到直线l的距离d=2cosθ+23sinθ+117=4sinθ+π6+117当sinθ+π6=-1时，d取最小值则d7min【小结】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.12．直线l被曲线C截得的弦长为23分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=π6．最后根据直角三角形OBA求弦长AB.解析：因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsinπ6-θ=2，则直线l过A（4，0），倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以AB=4cosπ6=23．因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．小结：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.13．(1) (x+1)2+y2=4.(2) y=-43x+2.分析：(1)就根据x=ρcosθ，y=ρsinθ以及ρ2=x2+y2，将方程ρ2+2ρcosθ-3=0中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线C2是圆心为A-1,0，半径为2的圆，C1是过点B0,2且关于y轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.解析：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为x+12+y2=4．（2）由（1）知C2是圆心为A-1,0，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B0,2且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以-k+2k2+1=2，故k=-43或k=0．经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=-43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以k+2k2+1=2，故k=0或k=43．经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=43时，l2与C2没有公共点． 综上，所求C1的方程为y=-43x+2．小结：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.14．（1）(π4,3π4)（2）x=22sin2α,y=-22-22cos2α为参数，π4<α<3π4)分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离d1，即α∈π4,π2或α∈π2,3π4．综上，α的取值范围是π4,3π4．（2）l的参数方程为x=tcosα,y=-2+tsinα(t为参数，π4<α<3π4 )．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP=tA+tB2，且tA，tB满足t2-22tsinα+1=0．于是tA+tB=22sinα，tP=2sinα．又点P的坐标x,y满足x=tPcosα,y=-2+tPsinα.所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2α,y=-22-22cos2α (α为参数，π4<α<3π4 )．小结：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．15．（1）x24+y216=1，当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanα⋅x+2-tanα，当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1；（2）【分析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cosα≠0 与cosα=0两种情况.(2)将直线l参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据参数几何意义得sinα,cosα之间关系，求得tanα，即得l的斜率．解析：（1）曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1．当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanα⋅x+2-tanα，当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程1+3cos2αt2+42cosα+sinαt-8=0．①因为曲线C截直线l所得线段的中点1,2在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0．又由①得t1+t2=-42cosα+sinα1+3cos2α，故2cosα+sinα=0，于是直线l的斜率k=tanα=-2．16．（1）(3,0)，(-2125,2425)；（2）a=8或a=-16．试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点(3cosθ,sinθ)，由点到直线距离公式求参数．试题解析：（1）曲线C的普通方程为x29+y2=1.当a=-1时，直线l的普通方程为x+4y-3=0.由x+4y-3=0x29+y2=1解得x=3y=0或x=-2125y=2425.从而C与l的交点坐标为3,0，-2125,2425.（2）直线l的普通方程为x+4y-a-4=0，故C上的点3cosθ,sinθ到l的距离为d=3cosθ+4sinθ-a-417.当a≥-4时，d的最大值为a+917.由题设得a+917=17，所以a=8；当a<-4时，d的最大值为-a+117.由题设得-a+117=17，所以a=-16.综上，a=8或a=-16.小结:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a的值．17．（1）x2-y2=4y≠0（2）5（1）消去参数t得l1的普通方程l1:y=kx-2；消去参数m得l2的普通方程l2:y=1kx+2.设Px,y,由题设得y=kx-2y=1kx+2，消去k得x2-y2=4y≠0.所以C的普通方程为x2-y2=4y≠0.（2）C的极坐标方程为ρ2cos2θ-sin2θ=40<θ<2π,θ≠π.联立ρ2cos2θ-sin2θ=4,ρcosθ+sinθ-2=0得cosθ-sinθ=2cosθ+sinθ.故tanθ=-13，从而cos2θ=910,sin2θ=110.代入ρ2cos2θ-sin2θ=4得ρ2=5，所以交点M的极径为5.【名师小结】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.18．（1）（x-2）2+y2=4x≠0；（2）2+3试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为x-22+y2=4x≠0；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得△OAB面积的最大值为2+3.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（ρ,θ）（ρ＞0），M的极坐标为ρ1,θ（ρ1＞0）由题设知|OP|=ρ，OM=ρ1=4cosθ.由OM⋅|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ（ρ＞0）因此C2的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4x≠0.（2）设点B的极坐标为ρB,α （ρB＞0）.由题设知|OA|=2，ρB=4cosα，于是△OAB面积S=12OA⋅ρBsin∠AOB=4cosα⋅|sin(α-π3)|=2|sin(2α-π3)-32|≤2+3当α=-π12时， S取得最大值2+3.所以△OAB面积的最大值为2+3.小结:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.19．（1）（x-2）2+y2=4x≠0；（2）2+3试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为x-22+y2=4x≠0；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得△OAB面积的最大值为2+3.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（ρ,θ）（ρ＞0），M的极坐标为ρ1,θ（ρ1＞0）由题设知|OP|=ρ，OM=ρ1=4cosθ.由OM⋅|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ（ρ＞0）因此C2的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4x≠0.（2）设点B的极坐标为ρB,α （ρB＞0）.由题设知|OA|=2，ρB=4cosα，于是△OAB面积S=12OA⋅ρBsin∠AOB=4cosα⋅|sin(α-π3)|=2|sin(2α-π3)-32|≤2+3当α=-π12时， S取得最大值2+3.所以△OAB面积的最大值为2+3.小结:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.20．455.直线l的普通方程为.因为点P在曲线C上，设，从而点P到直线l的的距离d=2s2-42s+8-12+-22=2s-22+45，当时，.因此当点P的坐标为4,4时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值455.21．34【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a满足的方程，解之解得．圆x=2+2cosθ,y=1+2sinθ化为普通方程为(x-2)2+(y-1)2=4，圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，由直线与圆相切，则有2a+1a2+1=2，解得a=34．【小结】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断．22．1+2【分析】根据ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a.因为ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ，由ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)，得x+y=a(a>0)，由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，即(x-1)2+y2=1，因为直线与圆相切，所以1-a2=1，∴a=1±2，∵a>0，∴a=1+2.【小结】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23．12【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.由题意可得圆的标准方程为：x-12+y2=1，直线的直角坐标方程为：y-3=-x+1，即x+y-2=0，则圆心到直线的距离：d=1+0-22=22，由弦长公式可得：AB=2×1-222=2，则SΔABC=12×2×22=12.【小结】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．24．2直线为 ，圆为x2+(y-1)2=1 ，因为d=34<1 ，所以有两个交点【考点】极坐标【名师小结】再利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2 把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.25．1试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为x2+y2-2x-4y+4=0，整理为x-12+y-22=1，圆心为C1,2，点P是圆外一点，所以AP的最小值就是PC-r=2-1=1.【考点】极坐标与直角坐标方程的互化，点与圆的位置关系【名师小结】（1）熟练运用互化公式：ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,x=ρcosθ将极坐标化为直角坐标；（2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质时，可转化为在直角坐标系的情境下进行．。