2022年高考数学二轮复习专题07立体几何教学案文一．考场1.【xx年北京卷数学（文）】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+122. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则3. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】已知三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若A． B． C． D． 4. (xx年高考山东卷文科13)如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.5. 【xx年全国高考新课标（I）文科】已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______. 6. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知 .（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.7. 【xx年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积. 8. (xx年高考福建卷文科19)（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点。
1）求三棱锥A-MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC9. 【xx年全国高考统一考试天津数学（文）卷】如图, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. (Ⅰ) 证明EF//平面A1CD; (Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1; (Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值. 二．高考研究考纲要求.图形的不同表示形式.④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.（2）点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.命题规律新课标下的立体几何高考题，基于新的教学理念，相较于大纲卷有两个明显的差别，一是难度略有降低，题量有所减少，二是更注重对空间几何体的直观认识的考查。
反映在考题上，就是减少了繁难的证明和计算（新教材删除了线线、线面、面面距离和球面距离），大大降低了对空间的角的考查难度（很多省市根本就不考空间的角与距离），增加了对几何体的认识的考查（三视图几乎成了必考内容），计算题多考体积与表面积题量由过去的3－4个题减少为2－3个题难度一般在0.65左右，略低于全卷的总体难度这也与新教材中课时的大幅减少相对应三视图与球体作为两个相对独立的内容，往往出现在选择题或填空题中在选择题或填空题中还常常考到只涉及线面关系而不涉及几何体的题，以体现对空间想象能力的考查解答题既有线面关系的证明，又体积表面积的计算由于涉及体积的计算，点到平面的距离应予以高度重视在试题结构上一般是2－3个小问，很多时候采用层层设问的形式形成梯度（也提高区分度），前面的问为后面的问服务解答题除了对空间想象能力的考查外，还注重对学生对符号语言、文字语言及图形语言的掌握和运用的考查，还注重对学生逻辑思维能力的考查.一．基础知识整合1.三视图：(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽，即“长对正，高平齐，宽相等”．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出.2.体积与表面积公式：(1)柱体的体积公式：；锥体的体积公式：；台体的体积公式：；球体的体积公式：。
(2)球的表面积公式：棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和，即为其表面积注：圆柱、圆锥、圆台的体积及表面积不作要求3.空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质（以下内容建议印发给学生，由学生对照回顾，老师再补充讲解）（1）异面直线 判定：反证法（3）直线与直线垂直 判定：①线面垂直线线垂直 ②直接求角： 用勾股定理③平几方法：（4）直线与平面平行 判定：①（定义）反证法 ②判定定理： ③平面与平面平行的性质：性质：①若一条直线平行于一个平面，则直线与平面无公共点 ②性质定理：（6）平面与平面平行判定：①定义 ②判定定理： ③推论：性质：①两平面平行，则这两个平面无公共点 ②性质定理：（7）平面与平面垂直判定：①定义 ②判定定理：性质：①两平面垂直，则这两个平面所成的二面角为直二面角 ②性质定理： ③课本P72思考.4.空间的角与距离（1）异面直线的夹角①过其中一条上的一点作另一条的平行线。
注：有时需按以下步骤进行（如下图）第一步：作（找）出过其中一条a而与另一条b相交的平面α；第二步：在α内过交点P作//a；第三步：求直线b与所成的角．②过空间一点作这两条异面直线的平行线3）点到直线的距离①直接作直线的垂线②求点P到平面内的直线a的距离：第一步：过P作交平面于点Q， 第二步：在内过Q作作 ，垂足为R；第三步：连结、，则即为点P到直线的距离4）点到平面的距离①直接作平面的垂线 ②要作垂线，先作垂面 ③体积法（等积法）二．高频考点突破考点1 ： 三视图与直观图【例1】(xx年高考陕西卷文科8)将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）【规律方法】1、画三视图的基本原则是：长对正，宽相等，高平齐.在做题时也要根据这个原则来画直观图.要根据这个原则来验证所画直观图是否正确.2、三视图问题关键是搞清楚三视图中的每条轮廓线代表的意义，三视图中给出的尺寸在几何体中对应哪些线段的尺寸，三视图中的角度在几何体对应的角度是多少.尤其要注意图中的直角，这是一个很重要的信息.必须结合三视图弄清几何体的直观图的构成，根据三视图的信息确定直观图中相关的量，然后才能进行相关计算.【举一反三】【安徽省示范高中xx届高三上学期第一次联考数学（文）】已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .考点2 ： 球体【例2】【内蒙古赤峰市全市优质高中xx届高三摸底考试（文）】已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB＝6, BC=，则棱锥O-ABCD的侧面积为( )A. 20+8 B. 44 C.20 D.46【规律方法】1、球体中常常用到以下结论：设球的半径为，球的截面圆的半径为，则球心到截面的距离为2、求三棱锥的体积要注意如何选取底面和顶点.因为三棱锥的每一个面都可以作为底面，每一个顶点都可以作为顶点.【举一反三】【河北省唐山市xx学年度高三年级摸底考试文科】直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为（ ）A． B． C． D． 考点3 ：纯线面位置关系的判定【例3】【xx年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A、若,则 B、若,则 C、若,则 D、若,则m⊥β【规律方法】综合运用线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，对每一选项逐一判断。
举一反三】【广东省广州市执信、广雅、六中xx届高三10月三校联考(文）】设是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（ ）A．且则 B．且,则C．则 D．则考点4 ：几何体中的线、面位置关系 【例4】【广东省广州市执信、广雅、六中xx届高三10月三校联考(文）】（本小题满分14分）如图，在多面体中，四边形是矩形，∥，，平面.（1）若点是中点，求证：.（2）求证：.（3）若求.©【规律方法】1、证线面平行，一般都考虑采用以下两种方法：第一，用线面平行的判定定理，第二用面面平行的性质定理；2、证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；3、条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理比如本题中已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；4、在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线；若是给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行线线平行是平行关系的根本5、在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．【例5】【广东省广州市海珠区xx届高三入学摸底考试数学文】如图4，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．(1) 求证：；(2) 若平面平面,且为的中点，求四棱锥的体积．连，在中，，，【规律方法】1、证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内的两条相交直线；而证明异面的线线垂直，很多题都要通过线面垂直来证明；对相交直线垂直的证明，一般考虑用平面几何里的方法。
常见的有以下几种，若是等腰三角形，则底边上的中线与底边垂直；若是锥形、菱形（正方形），则对角线互相垂直；若是矩形，则邻边互相垂直；有时还用到以下结论：如下图，在矩形中，若，则；若告诉了线段的长度，或者是告诉了边与边之间的关系，则用勾股定理2、对面面平行，在我的印象中高考解答题很少考过（（查遍历年高考题，发现13年江苏考了），对面面平行我们是该重视它，还是忽略它，请各位老师定夺3、在新课标中，体积和表面积是高考的重点考查内容，在复习中一定引起高度重视举一反三】1、【安徽省望江四中xx届高三上学期第一次月考数学（文）】如图,四棱锥的底面是正方形,棱底面,,是的中点．(1)证明：平面； (2)证明：平面平面.【举一反三】2、【江苏省南京市xx届高三9月学情调研】如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，为中点．（1）求证：平面；（2）若，求证：平面.………………………………………………………………………………14分【举一反三】3、【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中xx届高三第一次四校联考文】如图，在四棱锥中，，， ，，，.（Ⅰ）证明：∥；（Ⅱ）若求四棱锥的体积举一反三】4、【江苏省苏州市xx届高三九月测试试卷】如图，四棱锥的底面为矩形，，，分别是的中点，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面．所以，即． 考点5： 空间的角与距离【例6】【xx年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°,G为线段PC上的点.（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ)若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求 的值.解：（Ⅱ）设，由（1）知平面，连接，所以与面【例7】【xx年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）】如图，直四棱柱中，，，，，，E为CD上一点，，证明：BE⊥平面；求点到平面的距离.【例8】【xx年高考上海卷理科19】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小. 【规律方法】1、异面直线所成的角，通过作平行线，转化为相交直线所成的角。
具体地，有以下两种方法：一是在其中一条上的适当位置选一点，过该点作另一条的平行线；二是在空间适当位置选一点，过该点作两条异面直线的平行线求异面直线所成的角，点的选取很重要2、直线与平面所成的角就是直线与其在该平面内的射影所成的角求线面角的关键是找出斜线在平面内的射影，一般在斜线上的某个特殊的位置找一点，过该点平面的垂线，从而作出射影；3、求点到平面的距离除直接作出面的垂线外，常常用到等体积法4、求空间的角与距离，总的原则是转化到同一平面内在三角形中进行求解.【举一反三】1、【浙江省绍兴市第一中学xx届高三上学期回头考】如图, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. (Ⅰ) 证明EF//平面A1CD; (Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1; (Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值. 【举一反三】2、【河北省唐山市xx学年度高三年级摸底考试文科】（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形均为全等的直角梯形，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设，求点到平面的距离.考点6 ：翻折问题【例9】【广东省珠海市xx届高三9月摸底考试数学（文）】在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）证明平面；（3）求四棱锥的体积．【规律方法】翻折的问题要将翻折前后的图形作比较，弄清哪些角度和长度变了，哪些没有变；哪些线共面，哪些线不共面，翻折后的线与原来的线有什么联系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直线.【举一反三】【广东省广州市越秀区xx届高三上学期摸底考试（文）】如图，菱形的边长为4，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.三．错混辨析1. 概念不清，做题时想当然导致出错.这是一些中差生最常犯的错.【例1】如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 cm3.【例2】四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．求直线与平面所成角的余弦值.2. 考纲要求学生要有一定的空间想象力，能根据图形想象出直观形象。
学生往往由于空间感太差，考虑问题不全面，忽视一些细节之处，把图形想错例3】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )A．64 B．72 C．80 D．112【例4】已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )．A．m⊥α，m⊥n⇒n∥α B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m∥n，m⊥α⇒n⊥α D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β3.推理不严密，逻辑思维混乱导致出错【例5】如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.如图，求证：.【正解】1.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 2. 如图，正四棱柱中，,点E在上且.(Ⅰ)证明：平面;(Ⅱ)设、分别是、的中点，过且与平面平行的平面交于，求线段的长.3. 在棱长为正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、A1D1的中点. (Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求平面EB1C与平面AB B1A1所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求点B到平面EB1C的距离.。