湖北省部分重点高中2014届高三十一月联考数学（理）试题时间：2013年11月15日 下午：15:00-17:00一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则 （ ）A、 B、 C、 D、2. 复数（为虚数单位）的虚部是 （ ）A． B． C． D．3. 下列命题中是假命题的是 （ ）A．上递减B．C．;D．都不是偶函数4. 若曲线与曲线在交点处有公切线， （ ）A． B． C． D．5. 等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是（ ）A. B. C. D. xABPyO6. 函数的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,记,则的值是（ ）A． B． C． D．7. 某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（ ）正视图侧视图俯视图5xyA． B． C． D．8、八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好三个连续的小球涂红色，则涂法共有 （ ）A．24种 B．30种 C．20种 D．36种9、如图，偶函数的图像形如字母M，奇函数的图像形如字母N，若方程： 的实根个数分别为a、b、c、d，则= （ ） A． 27 B． 30 C．33 D． 36xy-2-1O121-1-11-22yxO10、定义表示不超过的最大整数，记，其中对于时，函数和函数的零点个数分别为则（ ）A． B． C． D． 第11题二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. (一)必考题（11—14题）11、若框图（右图）所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是___________.12、已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 13、已知各项全不为零的数列的前项和为，且＝),其中=1.则 14、正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的取值范围是 . 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）15、（选修4-1：几何证明选讲）是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为，且，设，则的值为 .16、（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系中，直线l的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线l距离为 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、已知与共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.18、是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要的影响我国从的含量对空气质量评定的标准如表1所示.某市环保部门从2013年全年每天的监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示Ⅰ) 从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求 的分布列和数学期望；(Ⅱ) 以这15天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级. 我国空气质量表均值（微克/立方米）均值范围（微克/立方米）空气质量级别23467895 81 7 3 44 58 37 93 62ⅠⅡ大于75超标表1图19、如图，在四棱锥中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD,E为PC中点，底面ABCD是直角梯形， AB∥CD，∠ADC=90, AB=AD=PD=1，CD=2．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)求证：BC⊥平面 (Ⅲ)设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q—BD—P的大小为4520、数列满足，（）.（1）设，求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求. （第21题）21、已知圆O：，直线l：与椭圆C：相交于P、Q两点，O为原点．（Ⅰ）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且，求直线l的方程；（Ⅱ）如图，若重心恰好在圆上，求m的取值范围．22、已知函数，当时，函数取得极大值.（1）求实数的值；（2）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（3）已知正数满足求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数,都有 2014届高三十一月联考数学(理科)试题参考答案CBDCD AAABB11. k<9? 或者k<=8? 12. 1/12 13. 14 . 15．16． 17.解：（1）因为m//n,所以.所以，即， 即 . …………………4分因为 , 所以. 故，.……6分（2）由余弦定理，得 . 又， …………………8分 而，（当且仅当时等号成立） …………10分所以. ………………………11分当△ABC的面积取最大值时，.又，故此时△ABC为等边三角形.…12分18.解：（1）依据条件，的可能值为， (1分)当时，，(2分)当时，(3分)当时，，(4分)当时， (5分)所以其分布列为：1 (6分)数学期望为： (7分)（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为， (9分)一年中空气质量达到一级的天数为，则，∴（天）所以一年中平均有天的空气质量达到一级. (12分)19.（Ⅰ）取的中点，连结，因为为中点，所以，且，在梯形中，，，所以，，四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面． (3分) （Ⅱ）平面底面，，所以平面，所以．如图，以为原点建立空间直角坐标系．则，，，．．所以．又由平面，可得，所以平面．(8分)，，所以，设平面的法向量为，由，，得，所以，所以，注意到，得 ( 12分)20. 解：（Ⅰ）由已知可得，即，即 即 （2分）∴累加得又∴(6分)（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，∴， ∴（12分） 22.解：（Ⅰ）. 由，得，此时.当时，，函数在区间上单调递增；当时，，函数在区间上单调递减.函数在处取得极大值，故.…………………………3分（Ⅱ）令，………4分则.函数在上可导，存在，使得.又当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；故对任意，都有.…………………………8分（Ⅲ）用数学归纳法证明.①当时，，且，，，由（Ⅱ）得，即，当时，结论成立.…………………………9分②假设当时结论成立，即当时，. 当时，设正数满足令，则，且. …………13分当时，结论也成立.综上由①②，对任意，，结论恒成立. ……………………14分 9。
