二、函数的极限二、函数的极限（1 1）自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限（2 2）自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限1 1、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限sin xyxxyosin xyxx 观察函数观察函数当当时的变化趋势时的变化趋势定义定义2 设函数设函数 当当 大于某一正数时有定大于某一正数时有定义，如果存在常数义，如果存在常数 ，对于任意给定的正数，对于任意给定的正数 （无（无论它有多么的小），总存在正数论它有多么的小），总存在正数 ，使得适合不等，使得适合不等式式 的一切的一切 ，所对应的函数值，所对应的函数值 都满足都满足不等式不等式 ，那么常数，那么常数 就叫做函数就叫做函数 当当 趋于无穷大时的极限，记做趋于无穷大时的极限，记做 或或()f xxAXxXx()f x()f xAA()f xxlim()xf xAAxf)(x（）Axfx)(lim0,0,()XxXf xA使当时 恒有 函数的函数的 定义定义X,)(,AxfXx有时当lim()xf xAAxfA)(XxXx或XXAAOxy()yf xA几何解释几何解释:直线 y=A 为曲线)(xfy 的水平渐近线.sinlim0 xxx证明.直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时,有 Axf)(lim()xf xA,0,0X当Xx时,有 Axf)(几何意义几何意义:例例4补充定理：补充定理：lim()lim()lim()xxxf xAf xf xA2 2、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限引例引例.测量正方形面积测量正方形面积.面积为面积为A)边长为边长为(真值真值:;0 x边长边长面积面积2x直接观测值直接观测值间接观测值间接观测值任给精度任给精度 ,要求要求 Ax2确定直接观测值精度确定直接观测值精度 :0 xx0 xAx 定义定义 设函数设函数 在点在点 的某一去心邻域内有的某一去心邻域内有定义，如果存在常数定义，如果存在常数 ,对于任意给定的正数对于任意给定的正数 （不（不论它多么小）论它多么小）,总存在正数总存在正数 ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 的一切的一切 ,对应的函数值对应的函数值 都满足不都满足不等式等式 ,那么常数那么常数 就叫函数就叫函数 当当 趋趋于于 时的极限时的极限,记作记作 或或 )(xf0 xA00 xxx)(xf Axf)(A)(xfx0 x0lim()xxf xA0()()f xAxx当。
0,0当时,有 Axf)(Axfxx)(lim0函数极限的函数极限的 定义定义00 xx()yf xyxoAAA0 x0 x0 x 的几何解释：的几何解释：当当 在在 的去心的去心 邻域内，邻域内，函数函数 图形完全落在以直图形完全落在以直线线 为中心线为中心线,宽为宽为 的带形区域内的带形区域内.0lim()xxf xA)(xfx0 xyA2例例521lim(25)4xxx证明 例例6239lim63xxx证明例例7 证明证明22lim4xx例例7 证明证明:当当00 x证证:()f xA0 xx 001xxx欲使,0且.0 x而0 x可用0 xx因此(),f xA只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证.必有Ox0 xx左极限与右极限左极限与右极限左极限左极限0(0)f x Axfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时,有.)(Axf右极限右极限0(0)f x Axfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时,有.)(Axf定理定理Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim0021,0()1,0 xxf xxx设0lim()1xf x例例8证明证明:例例90limxxx验证不存在.三种极限小结：三种极限小结：1.数列极限数列极限2.函数极限函数极限limnnxalim()xf xA0lim()xxf xAEX:P17 2,3,4,5,6。