空间几何体的 表面积与体积,知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积,思考1:面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的.你知道面积和体积的含义吗？,面积:平面图形所占平面的大小,体积:几何体所占空间的大小,思考2:所谓表面积，是指几何体表面的面积.怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？怎样计算直棱柱、 正棱锥、 正棱台的侧面积？,各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积.,思考3:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，侧面都是曲面，怎样求它们的侧面面积？,思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的表面积公式是什么？,思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的表面积公式是什么？,思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆台的上、下底面半径分别为r、r，母线长为l，那么圆台的表面积公式是什么？,,,,思考7:在圆台的表面积公式中，若r=r，r=0，则公式分别变形为什么？,知识探究（二）柱体、锥体、台体的体积,思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗？它们可以统一为一个什么公式？,思考2:推广到一般的棱柱和圆柱，你猜想柱体的体积公式是什么？,,思考3:关于体积有如下几个原理： （1）相同的几何体的体积相等； （2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.,将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？,思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？,,思考5:根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？,设台体的上、下底面面积分别为S、S，高为h，那么台体的体积公式是什么？,,,思考6:在台体的体积公式中，若S=S，S=0，则公式分别变形为什么？,知识探究（三）:球的体积表面积,思考1:从球的结构特征分析，球的大小由哪个量所确定？,思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什么？,思考3:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？,思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？,,思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的 体积 ，这是一个正确的结论，你 能提出一些证明思路吗？,思考6:半径为r的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？,思考7:把球面任意分割成n个“小球面片”，它们的面积之和等于什么？,思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗？,,思考5:经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？,球的表面积等于球的大圆面积的4倍,几何体的表面积,,例1已知三棱锥的顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，三棱锥的侧棱长为10 cm，侧面积为144 cm2，求棱锥的底面边长和高,解：如图所示，三棱锥S-ABC，SA=10. 设高SO=h，底面边长为AB=a， 连接AO并延长交BC于D点，连接SD，,,几何体的体积,例2如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA18，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？,解：当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面ABFE为梯形,,,例3如图所示，三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为() A111B112 C124 D144,图823,设棱台的高为h，SABCS， 则SA1B1C14S.,【答案】C,例4 已知A、B、C为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心O与ABC的外心M的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积.,几何体的折叠与展开,例4（1)将无盖正方体纸盒展开，如图所示，则直线AB、CD在原正方体中的位置关系是() A平行 B相交且垂直 C异面直线 D相交成60,,【解析】折起后如右图所示，由于点B、D重合，所以AB、CD相交 又AB=BC=CA ABC=60 AB、CD相交成60，故应选D.,解：由题意知BC=3 cm，AB=4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段BC的长度即为铁丝的最短长度,2)有一根长为3 cm.底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？,例5有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长,(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的最大容积V1； (2)请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积V2V1.,【解析】(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为42x，高为x，V1(42x)2x4(x34x24x)(0