二倍角的正弦余弦正切二倍角的正弦、余弦、正切 一. 教学内容： 1. 内容：二倍角的正弦、余弦、正切 2. 目标：使学生掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明 通过倍角公式的推导，了解它们之间，以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力并体会数学中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点提高学生的运算能力、分析问题和解决问题的能力 2 3. 重点：正弦、余弦、正切的倍角公式以及公式C2a的两种变形cos2a=2cosa-1及 cos2a=1-2sina2 4. 难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合运用 5. 学法指导： 切实掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形公式在公式S2a、C2a中，角a是 任意的，但在公式T2a中，只有当a¹p4+12kp和a¹p2+kp(kÎz)时才成立 二倍角公式不仅限于2a是a的二倍的形式，还可以运用于将4a作为2a的2倍、将a作为 a2的2倍、将a2作为a4的2倍、将3a作为32a的2倍、将a3作为a6的2倍等情况。
应用倍角公式时还应注意公式的灵活变形及公式的逆用 4sin例如，sina2=2sina4×cosa4，sin3a×cos3a=12sin6a，22tan40°1-tan40°2a4×cosa4=2(2sina4cosa4)=2sina2，cos2a-sin2a=cos4a，2=tan80°等在实际应用中，二倍角的正弦、余弦公式的变形公式运用极为广泛 sin2a2如sin2a=2sinacosa的变形公式cosa=在求积时应用较多；cos2a=2cosa-12sina =1-2sina的变形sina=2221-cos2a22，cosa=21+cos2a2常被称为“降幂公式”，而1+cos2a=2cosa，1-cos2a=2sina称为“升幂公式” 只有熟练地掌握二倍角公式及其变形公式，才能灵活地运用公式 例1. 化简： cos20°×cos40°×cos60°×cos80° sin6°×sin42°×sin66°×sin78° 分析：中，除60o角是特殊角外，其它3个角均不是特殊角，但它们之间有倍数关系，可利用倍角公式进行化简中角之间的倍数关系不明显，但稍作变化，即可发现其中的规律。
解：原式=12cos20°×cos40°×cos80°==sin20°×cos20°×cos40°×cos80°2sin20°sin40°×cos40°×cos80°4sin20°sin80°×cos80°8sin20°sin160°16sin20°sin20°16sin20°116====原式=sin6°×cos48°×cos24°×cos12° =2cos6°×sin6°×cos12°×cos24°×cos48°2cos6°sin12°×cos12°×cos24°×cos48°2cos6°sin24°×cos24°×cos48°4cos6°sin48°×cos48°8cos6°sin96°16cos6°cos6°16cos6°1===== 16 说明：本题主要考查二倍角的正弦公式，考查通过等价转换化简三角函数式的能力此例中，三角函数式是几个角正弦或余弦的连乘积，这些角之间具有倍数关系，故可连续使用二倍角正弦公式进行化简此时注意对所需化简式进行等价变形，“凑”出倍角公式的结构 =类似地，可以证明恒等式：cosa×cos2a×cos4a„„×cos(2a)=nsin(22n+1n+1a)sina(nÎN)* 例2. 已知sina+cosa=13，且0
sina-cosa的关系，可求出sinacosa、sina-cosa 分析：利用sina+cosa、sinacosa、的值，再利用二倍角公式求值 解： Qsina+coas=2132\sina+2sinacosa+cosa=1949891989\2sinacosa=-1=-，即sin2a=-Qsinacosa=-<0且00>cosa(sina-cosa)22\sina-cosa=2=1-sin2a=13´(-173)=-179\cos2a=cosa-sina=(cosa+sina)(cosa-sina)=tan2a=sin2acos2a-=-89179=81717 说明：已知a角的一个三角函数值及所在象限，可求出2a的正弦、余弦和正切而本 题已知三角函数式sina+cosa=13，可利用同角三角函数的基本关系式得出sinacosa的值，进而得出sina-cosa的值，再由二倍角公式即可求得sin2a、cos2a、tan2a的值也可以先求出sina、cosa、tana的值再用二倍角公式，但要判断出p2
a+b2 分析：注意到(a-)-(-b)=，故可先利用两角差的公式求出的余弦值，再利用二倍角公式求cos(a+b)的值Qp2
解： (2sin原式=a2cosa2-2sin4sina2a2a22a2)(2sina2a2cosa2+2sin2a2)a2 方法一：sin=(cos×cosa2×cosaa2-sincosa2)(cos+sin)×cosasin=a2×(coscos2a2-sin2a2)a2sin=cosa2a2a22×cosa×cosa×cosa=tan2 方法二：原式=sina-(cosa-1)sin2a22=sina-cosa+2cosa-1sin2a2cosa-2cosa2sinacosa2==1-cosasinaa2=tana2的三角函数，创造约分的条件 说明：方法一利用二倍角公式，将分子、分母转化成22 方法二先是用了平方差公式，又利用sina+cosa=1，最后用到半角的正切公式 tana2=1-cosasina=sina1+cosa1-tan22tan本题的方法还有一些，如利用万能公式sina=1+tana22a22a2，a2a2，cosa=1+tan22tantana=1-tana2a2，把sina和cosa用tan表示后再进行化简注意体会用三角公式化简三角函数式的灵活性。
3-4cos2A+cos4A 例5. 求证：3+4cos2A+cos4A 证明： =tanA4 分析：观察等式左右两边，易知应对角进行转换 左边=3-4cos2A+2cos2A-13+4cos2A+2cos2A-12cos2A-4cos2A+22cos2A+4cos2A+2cos2A-2cos2A+1cos2A+2cos2A+1222222 方法一：===(cos2A-1)(cos2A+1)(2sinA)(2cosA)422=2222=tanA=右边\等式成立 左边=4(1-cos2A)-(1-cos4A)4(1+cos2A)-(1-cos4A)4×2sinA-2sin222222 方法二：=2A4×2cosA-2sin2A2222=8sinA-8sinAcosA8cosA-8sin222AcosA=sinA(1-cosA)cosA(1-sinA) sin44=2AcosA4=tanA=右边\等式成立 说明：在证明三角恒等式时，可以从左式出发证出右式，也可以从右式出发证出左式；还可以从左右两端都向中间证明 一般说来，多采用由“繁”的一边向“简”的一边证明。
本例两种证法都是首先着眼于“角”的变化，即把左式中的角“4A”通过倍角公式化为“2A”，最后化为关于“A”的三角函数 一. 选择题： 1. 下列f(x)与g(x)中，不能表示同一函数的是 A. f(x)=sin2x，g(x)=2sinxcosx 22 B. f(x)=cos2x，g(x)=cosx-sinx 22 C. f(x)=2cosx-1，g(x)=1-2sinx D. f(x)=tan2x，g(x)=2tanx1-tanx sinq+cosq=44259 2. 已知q是第三象限角，且22，那么sin2q等于 2 A. 3 B. 3 C. -223 D. -23 3. sin6°×cos24°×cos12°×sin42°的值为 1 A. 16 cos(p4B. -116p411 C. 32 26，则sin2q 4. 若-q)×cos(+q)=的值是 27734 A. 3 5. 若B. 3p4C. 6 )=D. 6tanx=2，则tan2(x-4433 A. 3 B. - C. 4 D. -34 6. 化简1+sin20°-1-sin20°等于 A. 2cos10° 二. 填空题 B. 2sin10° C. ±2cos10° D. ±2sin10° sinq+sin2q 7. 化简1+cosq+cos2q=___________。
8. sin15°×sin75°=___________ 9. 若sina+cosa=-2，则tana+cota等于___________ 10. 已知tana=12，tanb=13，0
5. C 提示：先求出tan(x-)的值 2 6. B 提示：1±sin20°=(sin10°±cos10°) 22q=2sinqcoqs，1+co2sq=2cosq 7. tanq 提示：sin1 8. 4 提示：原式=sin15°×cos15° 9. 2 提示：由已知可得1+sin2a=2 \sin2a=1，tana+coat=5psinacoas+coassina=1sinacoas=2sin2a=2 10. 4 提示：tana(+b)=1，且p0 \tanq=-舍去22\原式=cosq-sinq2coqs-sinq1-tanq1+tanq1-1+22==2(2cosq+sinq)coqs+sinq= =-3+22222左边=sina+cosa+2sinacosa2cosa+2sinacosa 13. 证明： ===(sina+cosa)sina+cosa2cosa12tana+1222cosa(cosq+sina)=右边\原式成立 14. 证明：Q8sina+10cosb=5，8cosa+10sinb=53 两式平方相加得164+160sin(a+b)=100 \sin(a+b)=-25又由8sina+10cosb=5得10cosb=5-8sina由8cosa+10sinb=53得10sinb=53-8cosa两式平方相加得100=164-80sina-803cosa即12sina+p332)=cosa=25p3)25\sin(a+因此sin(a+b)=-sin(a+。