苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》单元培优训练(本次时间为120分钟，卷面总分150分.)一、 选择题（本大题共有8小題，每小题3分，共24)1、下列哪个方程是一元二次方程（ ）A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+=3 D．x2=2x﹣32、把方程（x+2）(x-2)=5x化成一元二次方程的一般形式是（ ）A． B． C． D．3、已知是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值是（ ）A．﹣3 B．3 C． D．24、x=是下列哪个一元二次方程的根（ ）A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=05、已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．16、若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a＝6有两个不相等的实数根，则a的取值范围为（ ）A．a＞0 B．a＞0且a≠2 C． D．且a≠27、某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（ ）A．300（1+x）=507 B．300（1+x）2=507C．300（1+x）+300（1+x）2=507 D．300+300（1+x）+300（1+x）2=5078、西菜市场某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，期间发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，在每件盈利不少于 25 元的前提下，要取得每天利润为 1200 元，每件商品降价（ ）A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．15元二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9、已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为_____．10、一元二次方程x2+3x＝0的解是 ．11、关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1＝0的两实数根为一正一负，则实数m的取值范围是 ．12、若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．13、已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝ ．14、若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝______．15、在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有_________员工人．16、某呼吸机制造商2020年一月份生产呼吸机1000台，2020年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为_____ ．三、解答题（本大题共有11小题，共102分）17、（6分）按指定的方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣4＝0（配方法）； （2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0（因式分解法）18、（6分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，求实数m的值．19、（8分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？20、（8分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．21、（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．22、（10分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？23、（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．24、（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x.25、（10分）某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该水果售价为每箱x（x＞60）元（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 箱；（2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？26、（12分）在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：BQ＝________，PB＝________(用含t的代数式表示)；(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．27、（14分）对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2的不变值是 ，A＝ ．（2）说明代数式3x2+1没有不变值；（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．(本次时间为120分钟，卷面总分150分.)二、 选择题（本大题共有8小題，每小题3分，共24)1、下列哪个方程是一元二次方程（ ）A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+=3 D．x2=2x﹣3D【分析】方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义判断即可．A. 2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确； B. x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确； C. x2＋＝3是分式方程，故不正确； D. x2＝2x－3是一元二次方程，故正确； 故选：D2、把方程（x+2）(x-2)=5x化成一元二次方程的一般形式是（ ）A． B． C． D．A【分析】根据平方差公式和移项法则把原方程变形，化为一元二次方程的一般形式即可．方程变形为x2﹣4=5x，移项得：x2﹣5x﹣4=0．故选A．3、已知是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值是（ ）A．﹣3 B．3 C． D．2B【分析】把x＝代入方程得到关于c的方程，然后解方程即可．解：把x＝代入方程x2﹣2x+c＝0，得（）2﹣2×+c＝0，所以c＝6﹣3＝3．故选：B．4、x=是下列哪个一元二次方程的根（ ）A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0D【分析】根据一元二次方程的求根公式进行求解.一元二次方程的求根公式是，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D.所以答案选D.5、已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．6、若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a＝6有两个不相等的实数根，则a的取值范围为（ ）A．a＞0 B．a＞0且a≠2 C． D．且a≠2【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣2≠0且△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）×（a﹣6）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．解：根据题意得a﹣2≠0且△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）×（a﹣6）＞0，解得且a≠2．故选：D．7、某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（ ）A．300（1+x）=507 B．300（1+x）2=507C．300（1+x）+300（1+x）2=507 D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507B解：设这两年的年利润平均增长率为x，根据题意得：300（1+x）2=507．故选：B．8、西菜市场某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，期间发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，在每件盈利不少于 25 元的前提下，要取得每天利润为 1200 元，每件商品降价（ ）A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．15元A【分析】设每件商品应降价为x元，则平均每天可多售出2x件，根据总利润=单个利润×数量，单个利润=售价-成本，列出方程，求解x.解：设每件商品应降价为x元，则平均每天可售出(20+2x)件，每件的利润为(40-x)元，由题意知：(20+2x)(40-x)=1200解得：x1=10，x2=25，∵ 要求每件盈利不少于25，∴ 当x1=10时，盈利为40-10=30>25，符合题意，当x2=25时，盈利为40-25=15<25，不符合题意，故舍去.故答案选A.二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9、已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为_____．（x﹣3）2＝11【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．解：方程x2﹣6x﹣2＝0，移项得：x2﹣6x＝2，配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11．故（x﹣3）2＝11．10、一元二次方程x2+3x＝0的解是 ．【分析】提公因式后直接解答即可．解：提公因式得，x（x+3）＝0，解得x1＝0，x2＝﹣3．故答案为0，﹣3．11、关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1＝0的两实数根为一正一负，则实数m的取值范围是 ．【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1＝0的两个实数根．由方程有实数根以及两实数根为一正一负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1＝0的两个实数根，由已知得：，即， 解得：m＞．故m＞．12、若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．k≤5由题意得，42-4×1×（k-1）≥0,解之得k≤5.13、已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝ ．【分析】设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，然后分别计算△，最后确定k＝﹣2．解：设方程的两根分别为x1，x2，∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，∴x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，当k＝2，方程变为：x2+1＝0，△＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以k＝2舍去；当k＝﹣2，方程变为：x2﹣3＝0，△＝12＞0，方程有两个不相等的实数根；∴k＝﹣2．故答案为﹣2．14、若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝______．22∵方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，∴m+n=-2,mn=-11,∴mn(m＋n)＝（-11）×(-2)=22.故答案是：2215、在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有_________员工人．50【分析】设这个公司有员工人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设这个公司有员工人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．故50．16、某呼吸机制造商2020年一月份生产呼吸机1000台，2020年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为_____ ．1000（1+x）2＝4000．【分析】由该呼吸机制造商2020年一月份及三月份生产呼吸机的数量，即可得出关于x的一元二次方程，即可求解．依题意，得：1000（1+x）2＝4000．故1000（1+x）2＝4000．三、解答题（本大题共有11小题，共102分）17、（6分）按指定的方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣4＝0（配方法）； （2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0（因式分解法）解：（1）2x2﹣5x﹣4＝0，变形得：x2x＝2，配方得：x2x，即（x）2，开方得：x=±，则x1=，x2=；（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0，变形得：3（x﹣2）+x（x﹣2）＝0，即（x﹣2）（x+3）＝0，可得x﹣2＝0或x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3．18、（6分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，求实数m的值．【分析】根据根与系数的关系可得，，结合已知等式即可求出，从而求出，即可求出m的值．解：根据题意得，，因为，所以所以，∴，所以，所以19、（8分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？【分析】（1）由一元二次方程的定义可得关于m的不等式，可求得m的取值；（2）由一元一次方程的定义可利关于m的方程，可求得m的值．解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，即当m≠±1时，方程为一元二次方程；（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元一次方程，∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．20、（8分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）先计算出△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）依题意有△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．（1）证明：△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：依题意有△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，故△ABC的周长＝2+2+1＝5．21、（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．【分析】（1）根据△≥0建立不等式即可求解；（2）先提取公因式对等式变形为 再结合韦达定理求解即可．解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2．故k≥2．（2）由题意得：=24 ，由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值为k＝3． 故k＝3．22、（10分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．23、（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．长20米，宽15米解：设AB为xm，则BC为（50﹣2x）m，根据题意得方程：x（50﹣2x）=300，2x2﹣50x+300=0，解得；x1=10，x2=15，当x1=10时50﹣2x=30＞25（不合题意，舍去），当x2=15时50﹣2x=20＜25（符合题意）．答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米．24、（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x.（1）2.6（1+x）2；（2）10%．【分析】(1) 将基本等量关系“本年的可变成本=前一年的可变成本+本年可变成本的增长量”以及“本年可变成本的增长量=前一年的可变成本×可变成本平均每年增长的百分率”综合整理可得：本年的可变成本=前一年的可变成本×(1+可变成本平均每年增长的百分率). 根据这一新的等量关系可以由第1年的可变成本依次递推求出第2年以及第3年的可变成本.(2) 由题意知，第3年的养殖成本=第3年的固定成本+第3年的可变成本. 现已知固定成本每年均为4万元，在第(1)小题中已求得第3年的可变成本与x的关系式，故根据上述养殖成本的等量关系，容易列出关于x的方程，解方程即可得到x的值.(1) ∵该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，又∵该养殖户的可变成本平均每年增长的百分率为x，∴该养殖户第2年的可变成本为：2.6(1+x) (万元)，∴该养殖户第3年的可变成本为：[2.6(1+x)](1+x)=2.6(1+x)2 (万元).故本小题应填：2.6(1+x)2.(2) 根据题意以及第(1)小题的结论，可列关于x的方程：4+2.6(1+x)2=7.146解此方程，得x1=0.1，x2=-2.1，由于x为可变成本平均每年增长的百分率，x2=-2.1不合题意，故x的值应为0.1，即10%.答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.25、（10分）某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该水果售价为每箱x（x＞60）元（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 箱；（2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？（1）200-2x；（2）70【分析】（1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量；（2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，在结合销售利润不能超过，即可确定的值（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：（2）根据题意得：整理得：解得：，当时，利润率，符合题意；当时，利润率，不合题意，舍去所以要获得1200元利润，应按70元每箱销售．26、（12分）在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：BQ＝________，PB＝________(用含t的代数式表示)；(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（1）2tcm；（5-t）cm（2）当t=2秒时，PQ的长度等于5cm（3）存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2＝QP2，代入相应数据解方程即可；（3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，∴AP＝tcm．∵AB＝5cm，∴PB＝（5﹣t）cm．∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，∴BQ＝2tcm；（2）由题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52，解得：t1＝0，t2＝2；答：当t＝0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm．（3）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：长方形ABCD的面积是：5×6＝30（cm2），使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30﹣26＝4（cm2），（5﹣t）×2t4，解得：t1＝4（不合题意舍去），t2＝1．即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2． 27、（14分）对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2的不变值是 ，A＝ ．（2）说明代数式3x2+1没有不变值；（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3x2﹣x+1＝0没有实数根，进而可得出代数式3x2+1没有不变值；（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，进而可得出△＝0，解之即可得出结论．（1）依题意，得：x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A＝2﹣（﹣1）＝3．故﹣1和2；3．（2）依题意，得：3x2﹣x+1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，∴该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．（3）依题意，得：方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，∴b1＝﹣3，b2＝1．答：b的值为﹣3或1．。
