2022年高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题 缺答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，，，则=A． B． C． D．2．已知，则下列不等关系式中正确的是A． B． C． D．3．复数满足是虚数单位），则复数在复平面内位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知函数则 A． B． C． D．yxO153-3图15．函数的图象的一部分如图1所示，则此函数的解析式为A． B．C． D．6．在数列中，，若等差数列，则数列的第10项为A． B． C． D．7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A． B． C． D．[来8．已知x，y满足约束条件，则z=-2x+y的最大值是A．-1 B．-2 C．-5 D．19．直线3x+4y=b与圆相切，则b=A．-2或12 B． 2或-12 C． -2或-12 D． 2或1210．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A． B． C． D．511．设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f()，r＝[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是A．q＝r＜p B．q＝r＞p C．p＝r＜q D．p＝r＞q12．设是函数的图象上一点，向量，，且.数列是公差不为0的等差数列，且，则A.0 B.9 C.18 D.36二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．直线的一个法向量（直线的法向量是指和直线的方向向量相垂直的非零向量）为，则 ．14．在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 ．15．执行如图3所示的程序框图，则输出的的值是 ．x=1, y=2z=xy是z<20?x=yy=z输出z结束否开始图316．已知命题不等式的解集是R，命题在区间上是减函数，若命题“或”为真，命题“且”为假，则实数的取值范围是 ．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知△的三边，，所对的角分别为，，，且．（1）求的值；18．某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了份，统计结果如下面的图表所示．组号年龄分组答对全卷的人数年龄频率/组距304050600.010 c0.0350.0250答对全卷的人数占本组的概率1[20,30)282[30,40)270.93[40,50)50.54[50,60]0.4（1）分别求出，，，的值；C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1图5（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记为第3组被授予“环保之星”的人数，求的分布列与数学期望．19．如图5，已知六棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，，分别是棱，上的点，且．（1）证明：，，，四点共面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为（0，b），点M段AB上，满足直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB．21．已知函数，（其中为自然对数的底数）．（1）若函数在区间内是增函数，求实数的取值范围；（2）当时，函数的图象上有两点，，过点，作图象的切线分别记为，，设与的交点为，证明．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
22．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点P，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP＝8，PB＝6，PD＝4，MC＝6，求MN的长．23．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.24．选修4－5：不等式选讲设不等式的解集与关于的不等式的解集相同．（1）求值；（2）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.1B2D3B4A5A6C7A8A9D10C11C12C三、解答题17．解：（1）因为，所以可设，，，由余弦定理得，．（2）由（1）知，，因为是△的内角，所以．由（1）知，，因为△的面积为，所以，即，解得．由正弦定理，即， 解得．所以△外接圆半径的大小为．18．解：（1）根据频率直方分布图，得，解得．第3组人数为，所以．第1组人数为，所以．第4组人数为，所以． （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.依题意的取值为0，1，2． ， ， ，所以的分布列为：012 所以． 19．第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1（1）证明：连接，，，，在四边形中，且，在四边形中，且，所以且，所以四边形是平行四边形．所以．在△中，，，所以，所以．所以．C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1所以，，，四点共面．（2）解：以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，则，，． 设是平面的法向量，则即取，则，．所以是平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点为坐标原点，，，所在的直线C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，．因为，且与不重合，所以．所以，，，四点共面．（2）解：由（1）知，，． 设是平面的法向量，则即取，则，．所以是平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为． 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接，，，，在四边形中，且，在四边形中，且，C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1所以且，所以四边形是平行四边形．所以．在△中，，，所以，所以．所以．所以，，，四点共面．（2）连接，因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角．连接，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，则．分因为，即．在边长为3的正六边形中，，，在△中，，，，由余弦定理可得，．在△中，，，所以．在△中，，，所以．在△中，，，，由余弦定理可得，，所以．所以．又，所以．所以．故直线与平面所成角的正弦值为．21．（1）解法一：因为函数在区间内是增函数， 所以． 即，即，因为在内恒成立，所以．故实数的取值范围为． 解法二：因为函数在区间内是增函数， 所以． 即，即，分设，当时，得，此时不合题意．当时，需满足即解得，此时不合题意．当时，需满足或或解得或，所以．综上所述，实数的取值范围为． （2）证明：因为函数，所以．过点，作曲线的切线方程为：：，：，因为与的交点为，由消去，解得． ①下面给出判定的两种方法：方法一：设， 因为，所以，且．所以．设，则．令，则．当时，，，所以，所以函数在上是增函数，所以，即，所以函数在上是增函数，所以．因为当时，，所以．方法二：由①得．设，因为，所以，且．于是，所以．由（1）知当时，在区间上是增函数，所以，即．即，已知，所以．。
