第十一单元 选考4部分第67讲 坐标系课前双击巩固1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系(1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的 ,记为ρ.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的 ,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为x= ,y=ρsin θ,由此得ρ2= ,tan θ= (x≠0). 3.常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆ρ=r圆心为(r,0),半径为r的圆ρ=2rcos θ圆心为,半径为r的圆ρ=2rsin θ(0≤θ<π)过极点,倾斜角为α的直线θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)过点(a,0),与极轴垂直的直线ρcos θ=a过点,与极轴平行的直线ρsin θ=a课堂考点探究探究点一 平面直角坐标系中的伸缩变换1 (1)曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线C',则曲线C'的方程为 . (2)曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,则曲线C的方程为 . [总结反思] 平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下所得曲线方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y'=h(x'),即为所求变换之后曲线的方程.平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换的作用下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆.式题 (1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:则点A经过变换后所得的点A'的坐标为 . (2)双曲线C:x2-=1经过伸缩变换φ:后所得曲线C'的焦点坐标为 . 探究点二 极坐标与直角坐标的互化2 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的直角坐标方程为(x-)2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为y=x,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;(2)若直线C2与曲线C1交于P,Q两点,求|OP|·|OQ|的值. [总结反思] (1)直角坐标方程化为极坐标方程时,将x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边同时平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.式题 [2017·大庆实验中学月考] 已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)A,B为曲线C上两个点,若OA⊥OB,求+的值. 探究点三 简单曲线的极坐标方程及应用3 [2017·全国卷Ⅱ] 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值. [总结反思] 曲线的极坐标方程问题通常可先利用互化公式转化为直角坐标系中的相关问题再求解,然后再次利用互化公式即可得相关结论.极坐标方程化为直角坐标方程,只需将ρcos θ和ρsin θ分别换成x和y即可.式题 [2017·黄冈中学三模] 在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x+y-4=0,曲线C2:(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若曲线C3的极坐标方程为θ=αρ>0,0<α<,且曲线C3分别交C1,C2于A,B两点,求的最大值. 第68讲 参数方程课前双击巩固1.参数方程的定义一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数(*),并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(*)就叫作这条曲线的 ,联系变数x,y的变数t叫作参变数,简称 . 2.直线、圆、椭圆的参数方程曲线参数方程过点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l(t为参数)圆心在点M0(x0,y0),半径为R的圆(θ为参数)圆心在原点,半径为R的圆(θ为参数)椭圆+=1(a>b>0)(φ为参数)3.直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是(t是参数). 若M1,M2是l上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则:(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α,y0+t2sin α);(2)|M1M2|=|t1-t2|,|M0M1|·|M0M2|=|t1t2|;(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=;(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.课堂考点探究探究点一 曲线的参数方程1 在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,2a)的直线l的倾斜角为,点P(x,y)为直线l上的动点,且|AP|=t.圆C以C(2a,2a)为圆心,为半径,Q(x,y)为圆C上的动点,且CQ与x轴正方向所成的角为θ.(1)分别以t,θ为参数,求出直线l和圆C的参数方程;(2)当直线l和圆C有公共点时,求a的取值范围. [总结反思] 几种常见曲线的参数方程:(1)直线的参数方程.过点P(x0,y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).(2)圆的参数方程.若圆心为点M0(x0,y0),半径为r,则圆的参数方程为(θ为参数).(3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数).(4)双曲线-=1(a>0,b>0)的参数方程为(θ为参数).(5)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).式题 [2017·长沙二模] 在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(s为参数),曲线C的参数方程为(t为参数),若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|. 探究点二 参数方程与普通方程的互化2 [2017·临汾三模] 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围. [总结反思] (1)消去参数的方法一般有三种:①利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数;②利用三角恒等式消去参数;③根据参数方程本身的结构特征,灵活选用一些方法,从整体上消去参数.(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使两种方程中的x,y的取值范围保持一致.式题 [2017·湖北六校二联] 已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标缩短为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值. 探究点三 直线的参数方程3 [2017·雅安三诊] 平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;(2)设点P(0,2),直线l和曲线C交于A,B两点,求|PA|+|PB|. [总结反思] (1)直线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离.(2)根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义,有如下常用结论:①若直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|;②若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,下同)的中点,则t1+t2=0;③设线段M1M2的中点为M,则点M对应的参数为tM=.式题 [2017·鹰潭一模] 在直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程;(2)求+的取值范围. 探究点四 圆、圆锥曲线的参数方程及应用4 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设曲线C与直线l交于点A,B,求+的最小值. [总结反思] 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题.式题 在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)将C1,C2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数t=,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直线C3:ρ(cos θ-2sin θ)=7距离的最小值. 第69讲 不等式的性质及绝对值不等式课前双击巩固1.不等式的性质(1)如果a>b,那么 ;如果bb⇔bb,b>c,那么 ,即a>b,b>c⇒ . (3)如果a>b,那么a+c> ,即a>b⇒a+c> . 推论:如果a>b,c>d,那么 ,即a>b,c>d⇒ . (4)如果a>b,c>0,那么ac> ;如果a>b,c<0,那么ac< . (5)如果a>b>0,那么an bn(n∈N,n≥2). (6)如果a>b>0,那么 (n∈N,n≥2).2.基本不等式(1)如果a,b∈R,那么a2+b2 ,当且仅当 时,等号成立. (2)如果a>0,b>0,那么 ,当且仅当 时,等号成立. (3)如果a>0,b>0,那么称为a,b的 平均,称为a,b的 平均. (4)如果a>0,b>0,c>0,那么 ,当且仅当 时,等号成立. (5)对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即 ,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立. 3.绝对值不等式(1)如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 时,等号成立. (2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当 时,等号成立. 课堂考点探究探究点一 绝对值三角不等式的应用1 [2017·湖南长郡中学二模] 若对于实数x,y,有|x+y+1|≤,≤,求证:≤. [总结反思] (1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到.该定理可以强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.(2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题时,利用绝对值三角不等式更方便.式题 若x,y满足|x-3y|<,|x+2y|<,求证:|x|<. 探究点二 绝对值不等式的解法2 [2017·内蒙古包钢一中一模] 已知函数f(x)=|x+2|-|2x-2|.(1)解不等式f(x)≥-2;(2)设g(x)=x-a,若对任意x∈[a,+∞),都有 g(x)≥f(x),求a的取值范围. [总结反思] 常见的绝对值不等式的解法:(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.(2)对形如|x+a|±|x-b|≥c(≤c)这种不等式问题,常用“零点分段讨论法”去掉绝对值符号化为若干个不等式组问题求解,其一般步骤为:①求零点;②划分区间,去绝对值符号;③分别解去掉绝对值符号之后的不等式;④取每个结果的并集.(3)通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.式题 [2017·沈阳东北育才学校九模] 已知函数f(x)=|2x+1|-|x|+a.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥0;(2)若方程f(x)=2x有三个不同的解,求a的取值范围. 探究点三 绝对值不等式的证明与应用3 [2017·武汉三模] 设函数f(x)=+|x-2m|(m>0).(1)求证:f(x)≥8恒成立;(2)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围. [总结反思] 含有绝对值的不等式的证明方法:①去掉绝对值符号(|x|≤a⇔-a≤x≤a(a>0),|x|>a⇔x>a或x<-a(a>0))再证明;②利用绝对值不等式的性质(||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|)来证明.式题 [2017·宣城二调] 已知f(x)=|ax-1|,若实数a>0,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.(1)求a的值;(2)若<|k|存在实数解,求实数k的取值范围. 第70讲 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式课前双击巩固1. 证明不等式的常用方法(1)比较法①求差比较法:a>b⇔a-b>0,ab,只要证明 即可,这种方法称为求差比较法. ②求商比较法:a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明>1即可,这种方法称为求商比较法. (2)分析法从所要证明的 出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立,这种证明方法称为分析法,即“执果索因”的证明方法. (3)综合法从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法称为综合法,即“由因寻果”的方法. (4)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法称为放缩法.(5)反证法的步骤①作出否定 的假设; ②进行推理,导出 ; ③否定 ,肯定 . 2. 柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式①柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(+)(+)≥ (当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立). ②柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. ③二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么+≥,当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立. (2)一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 课堂考点探究探究点一 柯西不等式的应用1 已知x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1.(1)求++的最小值;(2)求证:x2+y2+z2≥. [总结反思] 对于若干个单项式的平方和,因为其符合柯西不等式(a2+b2+…+c2)(m2+n2+…+p2)≥(am+bn+…+cp)2,所以只要补足另一个平方和多项式,便可利用柯西不等式来求最值.式题 [2017·长沙雅礼中学二模] 已知关于x的不等式|x+a|0),+≥2(ab>0),+≤-2(ab<0)等.(2)用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析的过程是寻求结论成立的充分条件,而不一定是充要条件,同时要正确使用“要证”“只需证”这样的“关键词”.式题 [2017·武汉二调] 若正实数a,b满足a+b=,求证:+≤1. 第十一单元 选修4部分1.课时安排第67讲 坐标系考试说明 1. 了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2. 了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.【课前双基巩固】知识聚焦2. (1)极径 极角 (2)ρcos θ x2+y2 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)将代入曲线C的方程得+y'2=1;(2)根据题意,将代入变换后所得曲线的方程,即可得曲线C的方程.(1)+y'2=1 (2)4x2+9y2=1 [解析] (1)因为所以代入曲线C的方程得C':+y'2=1.(2)根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1.变式题 (1)(1,-1) (2)(-5,0),(5,0) [解析] (1)设A'(x',y'),由伸缩变换φ:得到由于点A的坐标为,于是x'=3×=1,y'=×(-2)=-1, ∴A'的坐标为(1,-1).(2)设曲线C'上任意一点P'(x',y'),将代入x2-=1,得-=1,化简得-=1,即为曲线C'的方程,知C'仍是双曲线,其焦点坐标分别为(-5,0),(5,0).例2 [思路点拨] (1)将圆的标准方程化为一般方程,把x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入圆的一般方程和直线的直角坐标方程并化简即可;(2)将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程,利用|OP|·|OQ|=|ρ1ρ2|即可.解:(1)曲线C1的直角坐标方程为(x-)2+(y-2)2=4,即x2+y2-2x-4y+3=0,把x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入,得ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0,则C1的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0.∵直线C2的直角坐标方程为y=x,∴直线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R).(2)设P(ρ1,θ),Q(ρ2,θ),将θ=(ρ∈R)代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0,得ρ2-5ρ+3=0,∴ρ1·ρ2=3,∴|OP|·|OQ|=|ρ1ρ2|=3.变式题 解:(1)由ρ2=,得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得曲线C的直角坐标方程是+y2=1.(2)因为ρ2=,所以=+sin2θ,由OA⊥OB,设A(ρ1,α),则B点的坐标可设为,所以+=+=+sin2α++cos2α=+1=.例3 [思路点拨] (1)设P(ρ,θ)(ρ>0),利用已知条件得出M点坐标,根据|OM|·|OP|=16列方程可得C2的极坐标方程,再将极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设B(ρB,α)(ρB>0),由|OA|=2,ρB=4cos α,即可求出△OAB面积的最大值.解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0),因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·=2≤2+.当α=-时,S取得最大值2+,所以△OAB面积的最大值为2+. 变式题 解:(1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴C1的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-4=0.∵∴x2+(y-1)2=1,又x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴(ρcos θ)2+(ρsin θ-1)2=1,即ρ2-2ρsin θ=0,∴C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则ρ1=,ρ2=2sin α,则==×2sin α(cos α+sin α)=,又0<α<,∴当α=时,取得最大值.【备选理由】例1主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,意在考查基本运算能力,转化与化归思想、方程思想与数形结合思想;例2主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,综合性较强.1 [配例2使用] 在极坐标系中,已知曲线C:ρ=2sin,P为曲线C上的动点,定点Q.(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程;(2)求P,Q两点间的最短距离.解:(1)在极坐标系中,曲线C:ρ=2sin=2sin θ-2cos θ,∴ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,即(x+1)2+(y-1)2=2.(2)易知Q的直角坐标为,∵曲线C的圆心为(-1,1),半径为,点Q在圆C外,∴|PQ|min=-=-.2 [配例3使用] [2017·深圳一模] 在平面直角坐标系中,直线l过点P(2,)且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos,直线l与曲线C相交于A,B两点.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.解:(1)∵ρ=4cos,∴ρ=4cos θcos+sin θsin=2(cos θ+sin θ),∴ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),∴x2+y2=2x+2y, ∴曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-)2=4.(2)当α=时,直线l的方程为x=2,∴|AB|=2≠,不符合题意.当α≠时,设tan α=k,则l的方程为y-=k(x-2),即kx-y-2k+=0,∴圆心C(1,)到直线kx-y-2k+=0的距离d==,由d2+=4,得+=4,解得k=±,∴tan α=±,∵α∈[0,π),∴α=或.第68讲 参数方程考试说明 1. 了解参数方程,了解参数的意义.2. 能选择适当参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.【课前双基巩固】知识聚焦1. 参数方程 参数【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)依据直线的参数方程和圆的参数方程的概念可直接写出它们的参数方程;(2)将圆C的参数方程化为普通方程,再将直线l的参数方程代入,利用Δ≥0即可求出a的取值范围.解:(1)依题意,直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).圆C的参数方程为(θ为参数).(2)将圆C的参数方程化为普通方程得(x-2a)2+(y-2a)2=2,将直线l的参数方程代入,得+=2, 整理得t2-at+a2-2=0,因为直线l和圆C有公共点,所以Δ=(-a)2-4(a2-2)≥0,解得-2≤a≤2.变式题 解:直线l的普通方程为x+y=2,曲线C的普通方程为y=(x-2)2(y≥0),联立两方程得x2-3x+2=0,求得两交点的坐标分别为(1,1),(2,0),所以|AB|=.例2 [思路点拨] (1)由题意知y=3-2sin αcos α-2cos2α=3sin2α-2sin αcos α+cos2α=(sin α-cos α)2,将x整体代入即可得y=x2,根据x=sin α-cos α=2sin,可知-2≤x≤2.将ρsin=m展开可得ρsin θ-ρcos θ=m,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,可得y-x=m.(2)联立C1,C2的直角坐标方程,可得m=x2-x,-2≤x≤2,求x2-x的范围可得实数m的取值范围.解:(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),可得其直角坐标方程为y=x2(-2≤x≤2),由曲线C2的极坐标方程为ρsin=m,可得其直角坐标方程为x-y+m=0.(2)联立曲线C1与曲线C2的方程,可得x2-x-m=0,∴m=x2-x=-,∵-2≤x≤2,曲线C1与曲线C2有公共点,∴-≤m≤6.变式题 解:(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,由得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=.(2)C2的参数方程为(θ为参数),设点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d==,故当sin(θ-φ)=1时,d取得最大值,最大值为+.例3 [思路点拨] (1)由消去参数α,求得曲线C的普通方程.由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得y=x+2,从而求得直线l的倾斜角.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可得直线l的参数方程为(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,利用韦达定理结合参数的几何意义求得|PA|+|PB|的值.解:(1)由消去参数α,得+y2=1, 即曲线C的普通方程为+y2=1.由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)将代入(*),化简得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可得直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-<0,t1·t2=>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.变式题 解:(1)∵直线l过点P且倾斜角为α,∴直线l的参数方程为(t为参数).(2)把代入x2+y2=1,得t2+(cos α+3sin α)t+2=0,∵直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N,∴Δ=(cos α+3sin α)2-8>0,即sin2>,又α∈[0,π),∴0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则又直线l过点P(1,2),结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==≥=2.故+==≥,所以所求的最小值为.变式题 解:(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数),∴其普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1,∴C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.∵曲线C2的参数方程为(θ为参数),∴其普通方程为+=1,∴C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)由t=,得P(-4,4),设Q(8cos θ,3sin θ),故M-2+4cos θ,2+sin θ,ρ(cos θ-2sin θ)=7可化为x-2y=7,故M到C3的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|=|5cos(θ+φ)-13|其中tan φ=,从而当cos(θ+φ)=1时,d取得最小值,为.【备选理由】例1考查了圆的参数方程与普通方程的转化,直线与圆相交求弦长;例2考查了直线的参数方程与普通方程,圆的极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线参数方程的应用;例3考查了曲线的极坐标方程与参数方程的转化,以及曲线参数方程的应用;例4考查了曲线参数方程与极坐标方程之间的转化,以及曲线极坐标方程的应用.以上几题覆盖了曲线参数方程与极坐标方程的几种常见组合,是对例题的补充.1 [配例2使用] [2017·珠海调研] 已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=2.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长.解:(1)曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,将代入,化简得ρ=4cos θ,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.(2)∵直线l的直角坐标方程为x+y-4=0,联立得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2),(4,0),∴所求弦长为=2.2 [配例3使用] 已知直线l的参数方程为(t为参数),以直角坐标系xOy的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin.(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于A,B两点,若P点的直角坐标为(2,1),求||PA|-|PB||的值.解:(1)易得直线l的普通方程为y=x-1.因为曲线C的极坐标方程为ρ=4sin=4sin θ+4cos θ,即ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x-4y=0(或写成(x-2)2+(y-2)2=8).(2)点P(2,1)在直线l上,且在圆C内,把代入x2+y2-4x-4y=0,得t2-t-7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-7<0,即t1,t2异号,所以||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=.3 [配例4使用] 在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρ2=,直线l:2ρsin=.(1)判断曲线C与直线l的位置关系,写出直线l的参数方程;(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A,B,求|AB|的值.解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y=,与y轴的交点为P(0,),将P(0,)代入椭圆方程左边得0+<1,故点P(0,)在椭圆的内部,所以直线l与曲线C相交.直线l的参数方程为(t为参数).(2)由(1)知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的直角坐标方程为+=1,将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得3+=15,即t2+2t-8=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t2+t1=-2,t2t1=-8,所以|AB|===6.4 [配例4使用] [2018·岳阳一中月考] 直角坐标系xOy中,直线l:(t为参数),曲线C1:(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cos θ+2sin θ.(1)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)设直线l交曲线C1于O,A两点,交曲线C2于O,B两点,求|AB|.解:(1)曲线C1:(φ为参数),化为普通方程是x2+(y-1)2=1,展开可得x2+y2-2y=0,可得其极坐标方程为ρ2-2ρsin θ=0,即ρ=2sin θ.曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cos θ+2sin θ,即ρ2=ρ(-2cos θ+2sin θ),化为直角坐标方程是x2+y2=-2x+2y.(2)直线l:(t为参数),化为普通方程是y=-x,可得其极坐标方程是θ=(ρ∈R),∴|OA|=2sin=,|OB|=-2cos+2sin=-2×+2×=4,∴|AB|=|OB|-|OA|=4-.第69讲 不等式的性质及绝对值不等式考试说明 1. 理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1)bb (2)a>c a>c(3)b+c b+c a+c>b+d a+c>b+d(4)bc bc (5)> (6)>2. (1)≥2ab a=b (2)≥ a=b(3)算术 几何 (4)≥ a=b=c(5)≥3. (1)ab≥0 (2)(a-b)(b-c)≥0【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 借助绝对值三角不等式进行证明.证明:==x+y+1-y++≤|x+y+1|++≤×=,所以≤.变式题 证明:由绝对值三角不等式的性质得|x|=|2(x-3y)+3(x+2y)|≤[|2(x-3y)|+|3(x+2y)|]<×=.例2 [思路点拨] (1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式f(x)≥-2的解集,再取并集,即得所求;(2)作出f(x)的图像,数形结合求得满足x∈[a,+∞)时g(x)≥f(x)的a的取值范围.解:(1)f(x)=当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,∴x∈⌀;当-2-2时,令-x+4=x-a,得x=2+,∴a≥2+,即a≥4.综上,a≤-2或a≥4.变式题 解:(1)当a=-1时,不等式f(x)≥0可化为|2x+1|-|x|-1≥0,∴或或解得x≤-2或x≥0,∴不等式f(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,+∞).(2)由f(x)=2x得a=2x+|x|-|2x+1|,令g(x)=2x+|x|-|2x+1|,则g(x)=作出函数y=g(x)的图像,如图所示,易知A-,-,B(0,-1),结合图像知,当-110,分1-2m≥0和1-2m<0两种情况进行讨论,分别求解不等式再取并集即可.解:(1)证明:由m>0,得f(x)=+|x-2m|≥==+2m≥2=8,当且仅当=2m且(x-2m)≤0,即m=2且-4≤x≤4时取等号,所以f(x)≥8恒成立.(2)f(1)=+|1-2m|(m>0).当1-2m<0,即m>时,f(1)=1+-(1-2m)=+2m,由f(1)>10,得+2m>10,化简得m2-5m+4>0,解得m<1或m>4,所以4.当1-2m≥0,即010,得2+-2m>10,此不等式在00,所以-≤x≤,因为不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},所以解得a=2.(2)因为=≥=,所以要使<|k|存在实数解,只需|k|>,解得k>或k<-, 所以实数k的取值范围是∪.【备选理由】这里选用的三个例题,涉及求绝对值不等式的解、由解集求参数、不等式的证明,以及不等式恒成立等问题,希望通过练习提高学生的解题能力.1 [配例1使用] 已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.解:(1)由||x-1|+2|<5得-5<|x-1|+2<5,所以-7<|x-1|<3,得-22时,原不等式等价于(x-2)+(x+4)≥x2+4x+3,即x2+2x+1≤0,解得x=-1,∴x∈⌀.综上可知,不等式f(x)≥g(x)的解集是{x|-5≤x≤-2+}.(2)∵|x-2|+|x+4|≥|x-2-x-4|=6,且f(x)≥|1-5a|恒成立,∴6≥|1-5a|,即-6≤1-5a≤6,∴-1≤a≤,∴a的取值范围是.3 [配例3使用] [2017·深圳二调] 已知函数f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|,a∈R.(1)若f(a)≤2|1-a|,求实数a的取值范围;(2)若关于x的不等式f(x)≤1存在实数解,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(a)≤2|1-a|,所以|1-a|+|a-a2|≤2|1-a|,即(|a|-1)|1-a|≤0.当a=1时,不等式成立;当a≠1时,|1-a|>0,则|a|-1≤0,解得-1≤a<1.综上所述,实数a的取值范围是{a|-1≤a≤1}.(2)若关于x的不等式f(x)≤1存在实数解,则只需f(x)min≤1, 又f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|≥|(x+1-2a)-(x-a2)|=(a-1)2,所以(a-1)2≤1,解得0≤a≤2,所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}.第70讲 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式考试说明 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1)a-b>0 (2)结论 (5)结论 矛盾 假设 结论2. (1)(a1b1+a2b2)2【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用基本不等式可得当且仅当=且=且=时,++取得最小值6+2+2+2;(2)利用柯西不等式的特点结合题意证得结论即可,注意等号成立的条件.解:(1)∵x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1,∴++=(x+2y+3z)=6++++++=6+++≥6+2+2+2,当且仅当=且=且=时取等号,故++的最小值为6+2+2+2.(2)证明:由柯西不等式可得1=(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14(x2+y2+z2),∴x2+y2+z2≥,当且仅当x==,即x=,y=,z=时取等号, 故x2+y2+z2≥.变式题 解:(1)由|x+a|0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求a2+b2+c2的最小值.解:(1)因为|x+a|+|x-b|≥|a+b|,所以f(x)≥|a+b|+c,当且仅当(x+a)(x-b)≤0时,等号成立,又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得(4+9+1)≥=(a+b+c)2=16,即a2+b2+c2≥,当且仅当==,即a=,b=,c=时,等号成立, 所以a2+b2+c2的最小值为.2 [配例2使用] [2015·全国卷Ⅱ] 设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明:(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+.(ii)若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.3 [配例2使用] [2017·广州模拟] (1)已知a+b+c=1,证明:(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥;(2)若对任意实数x,不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)证明:因为a+b+c=1,所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2=a2+b2+c2+2(a+b+c)+3=a2+b2+c2+5,所以要证(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥,只需证a2+b2+c2≥.因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)≥(a+b+c)2-2(a2+b2+c2),所以3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2.因为a+b+c=1,所以a2+b2+c2≥,所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥.(2)设f(x)=|x-a|+|2x-1|,则“对任意实数x,不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立”等价于“f(x)min≥2”.当a<时,f(x)=此时f(x)min=f=-a, 要使|x-a|+|2x-1|≥2恒成立,必须-a≥2,解得a≤-.当a=时,≥不可能恒成立.当a>时,f(x)=此时f(x)min=f=a-,要使|x-a|+|2x-1|≥2恒成立,必须a-≥2,解得a≥.综上可知,实数a的取值范围为-∞,-∪,+∞.。