一、平面向量基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果e1，e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个向量，那么向量，那么对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量a，一对实数一对实数1，2，使使a其中，其中，叫做表示叫做表示这一平面内所有向量的一组基底这一平面内所有向量的一组基底.不共线不共线有且只有有且只有1e12e2不共线的向量不共线的向量e1，e22.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x轴、轴、y轴方向相同的两轴方向相同的两个单位向量个单位向量i，j作为基底作为基底.对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a，有且只，有且只有一对实数有一对实数x，y使使axiyj，把有序数对，把有序数对叫做向量叫做向量a 的坐标，记作的坐标，记作a.(2)设设xiyj，则，则就是终点就是终点A的坐标，即若的坐标，即若(x，y)，则，则A点坐标为点坐标为，反之，反之亦成立亦成立(O是坐标原点是坐标原点).(x，y)(x，y)向量向量的坐标的坐标(x，y)(x，y)提示：提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点可以不同，以原点O为起点的向量为起点的向量的坐标与的坐标与点点A的坐标相同的坐标相同.1.向量的坐标与点的坐标有何不同？向量的坐标与点的坐标有何不同？二、平面向量的坐标运算二、平面向量的坐标运算1.加法、减法、数乘运算加法、减法、数乘运算向量向量abababa坐标坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1-x2，Y1-y2)(x1，y1)(x1+x2，Y1+y2)2.向量坐标的求法向量坐标的求法已知已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则，即，即一一个向量的坐标等于个向量的坐标等于.该向量终点的坐标减去始点的坐标该向量终点的坐标减去始点的坐标(x2x1，y2y1)3.平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中其中b0，则，则a与与b共线共线a.x1y2x2y10b2.若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab的充要条件的充要条件能表示成能表示成吗？吗？提示：提示：若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab的充要条的充要条件不能表示成件不能表示成，因为，因为x2，y2有可能等于有可能等于0，所以应表示为所以应表示为x1y2x2y10.同时，同时，ab的充要条件的充要条件也不能错记为：也不能错记为：x1x2y1y20，x1y1x2y20等等.1.已知平面向量已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量，则向量ab .解析：解析：ab(0,1x2)，ab平行于平行于y轴轴.答案：答案：(0,1x2)2.若向量若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则，则c.解析：解析：设设cab，则，则(4,2)(，)，答案：答案：3ab即即解得解得c=3a-b.3.已知四边形已知四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且，且，则顶点，则顶点D的坐标为的坐标为.解析：解析：设设D(x，y)，AD(x，y2)，BC(4,3)，又又BC2AD，即点即点D坐标为坐标为(2，)答案：答案：(2，)4.若点若点O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)，且，且，则点，则点A的坐标为的坐标为，点，点B的坐标为的坐标为，向量向量的坐标为的坐标为.答案：答案：(2,4)(3,9)(5,5)解析：解析：O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)，OA(1,2)，OB(1,3)，OA2(1,2)(2,4)，OB3(1,3)(3,9)A(2,4)，B(3,9)，AB(32,94)(5,5)5.在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，E和和F分别是边分别是边CD和和BC的中点，若的中点，若其中其中、R，则，则.解析：解析：设设ABa，ADb，那么那么AEab，AFab.又又ACab，AC(AEAF)，即，即，.答案：答案：1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同不同，表示也不同.2.对于两个向量对于两个向量a，b，将它们用同一组基底表示，我们可，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映通过分析这两个表示式的关系，来反映a与与b的关系的关系.3.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算.【注意注意】由于基底向量不共线，所以由于基底向量不共线，所以0不能作为一个基不能作为一个基底向量底向量.在在OAB中，中，AD与与BC交于点交于点M，设，设a，用用a，b表示表示由平面向量基本定理，利用共线向量条件及向量由平面向量基本定理，利用共线向量条件及向量的加、减法法则即可解得结果的加、减法法则即可解得结果.因为因为A、M、D三点共线，所以三点共线，所以即即m2n1.【解解】设设OMmanb(m，nR)，AMOMOA(m1)anb，ADODOAbaab，因为因为C、M、B三点共线，所以三点共线，所以即即4mn1.而而CMOMOC(m)anb，CBOBOCbaab，所以所以由由解得解得 13OM=a+b.771.如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，M，N分别为分别为DC，BC的中的中点，已知点，已知AM=c,AN=d,试用试用c，d表示表示解：法一：解：法一：设设ABa，ADb，则则aANNBd(b)，bAMMDc(a)，将代入得将代入得ad()c(a)adc，代入得代入得bc()(dc)cd.即即ABdc，ADcd.法二：法二：设设ABa，ADb，因因M，N分别为分别为CD，BC的中点，的中点，所以所以BNb，DMa，因而因而1212即22AB=2d-c,AD=2c-d.331.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用解题过程中要注意方程思想的运用.2.利用向量的坐标运算解题利用向量的坐标运算解题.主要是根据相等的向量坐标相主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程同这一原则，通过列方程(组组)进行求解进行求解.3.向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算量运算.已知已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设设ABa，BCb，CAc，且，且CM3c，CN2b，(1)求：求：3ab3c；(2)求满足求满足ambnc的实数的实数m，n；(3)求求M、N的坐标及向量的坐标及向量MN的坐标的坐标.利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解坐标的关系求解.【解解】由已知得由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得解得(3)设设O为坐标原点，为坐标原点，CMOMOC3c，OM3cOC(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又又CNONOC2b，ON2bOC(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)MN(9，18)2.已知已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及及试问：试问：(1)t为何值时，为何值时，P在在x轴上？轴上？P在在y轴上？轴上？P在第三象限？在第三象限？(2)四边形四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由值，若不能，请说明理由.解：解：(1)OA(1,2)，AB(3,3)，OPOAtAB(13t,23t)若点若点P在在x轴上，则轴上，则23t0，解得，解得t；若点若点P在在y轴上，则轴上，则13t0，解得，解得t；若点若点P在第三象限，则在第三象限，则解得解得t.(2)若四边形若四边形OABP成为平行四边形，成为平行四边形，则则OPAB，该方程组无解，该方程组无解，四边形四边形OABP不能成为平行四边形不能成为平行四边形1.ab的充要条件有两种表达形式：的充要条件有两种表达形式：(1)ab(b0)ab(R)；(2)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则abx1y2x2y10.两种充要条件的表达形式不同，第两种充要条件的表达形式不同，第(1)种是用线性关系的种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件形式表示的，而且有前提条件b0.而第而第(2)种是用坐标形种是用坐标形式表示的，且没有式表示的，且没有b0的限制的限制.2.向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法解题时要注意共线向量定理的坐标表示本操作的方法解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题程，以便用函数与方程的思想解题平面内给定三个向量平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，回答下列问题：，回答下列问题：(1)求满足求满足ambnc的实数的实数m、n；(2)若若(akc)(2ba)，求实数，求实数k；(3)若向量若向量d满足满足(dc)(ab)，且，且|dc|求求d.(1)由两向量相等的充要条件可求得实数由两向量相等的充要条件可求得实数m、n的值；的值；(2)由两向量平行的充要条件列出关于由两向量平行的充要条件列出关于k的方程，进而的方程，进而求得求得k的值；的值；(3)由两向量平行及向量的模列方程组求解由两向量平行及向量的模列方程组求解.【解解】(1)由题意得由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)，(2)akc(34k,2k),2ba(5,2).又又(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，得得k=-.(3)设向量设向量d坐标为坐标为(x，y)，则则dc(x4，y1)，ab(2,4).由题意知或由题意知或d的向量坐标为的向量坐标为(3，1)或或(5,3).或或3.已知已知a(1,2)，b(3,2)，当，当k为何值时，为何值时，kab与与a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？平行？平行时它们是同向还是反向？解：解：kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4).(kab)(a3b)(k3)(4)10(2k2)04k1220k20024k8k.当当k时，时，kab与与a3b平行平行.此时此时kabab(a3b)，kab与与a3b反向反向.平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代数问题来解决代数问题来解决.特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点，是高考考查的重点，2009年湖南卷就考查平面向量与三角函年湖南卷就考查平面向量与三角函数的结合数的结合.(2009湖南高考湖南高考)已知向量已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2).(1)若若ab，求，求tan的值；的值；(2)若若|a|b|,0，求，求的值的值.解解(1)因为因为ab，所以，所以2sincos2sin，于是于是4sincos，故，故tan(2)由由|a|b|知，知，sin2(cos2sin)25，所以所以12sin24sin25，从而从而2sin22(1cos2)4，即，即sin2cos21，于是于是又由又由0知，知，所以所以因此因此(2分分)(6分分)(8分分)(12分分)(13分分)(14分分)2009年高考中考生主要犯了以下错误年高考中考生主要犯了以下错误.解解(1)时时ab的充要条件与的充要条件与ab的充要条件混淆，另外部分的充要条件混淆，另外部分考生记不清考生记不清ab的充要条件的充要条件.解解(2)时，基本三角恒等变换不熟练或不恰当，影响结果如时，基本三角恒等变换不熟练或不恰当，影响结果如将将4sin2写成写成2(1cos2)等等.。