试卷类型：B一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合，，则等于A． B． C． D．2．设复数，，则在复平面内对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，若∥，则等于A． B． C． D．4．等差数列的前项和为，已知，，则的值是A．24 B．48 C．60 D．725．设随机变量，且，则实数的值为A． 4 B． 6 C． 8 D．10 6．在正四棱锥中，底面正方形的边长为1，侧棱长为2，则异面直线与所成角的大小为A． B． C． D．7．已知函数，给出下面四个命题：①函数的最小正周期为；②函数是偶函数；③函数的图象关于直线对称；④函数在区间上是增函数，其中正确命题的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是A．，将函数的图像关于轴对称B．，将函数的图像关于轴对称 C．，将函数的图像关于点对称D．，将函数的图像关于点对称二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．展开式中的系数为 (用数字作答).10．向面积为的三角形内任投一点，则△的面积小于的概率是 ．11．已知程序框图如右，则输出的= ． 12．已知实数满足若目标函数取得最小值时的最优解有无数个，则实数的值为_____．13．已知直线与抛物线相交于、两 点，为抛物线的焦点，若，则的值为 ．ADECBO（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点， 于点，若圆的面积为，，则的长为 ．15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为，则（为极点）所在直线被曲线所截弦的长度为 ． 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）ABACADA如图，在中，点在边上，，，．（1）求的值；（2）求的长．17．（本小题满分12分）某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为分，“居民素质”得分为分，统计结果如下表： 社区数量居民素质1分2分3分4分5分社区服务1分131012分107513分210934分6015分00113（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分的均值（即数学期望）为，求、的值． 18.（本小题满分14分）已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示． （1）当时，求证：；ABCDO（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．19．（本小题满分14分）设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．本资料由《七彩教育网》 提供！20.（本小题满分14分）已知数列中，，，且．（1）设，是否存在实数，使数列为等比数列．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）求数列的前项和． 21．（本小题满分14分）已知函数．（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分． 题号12345678答案DDABADCB 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．10 10． 11．9 12． 13. 14．1 15．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（1）因为，所以．…………………………………………………………2分因为，所以．…………………………………………………………4分因为，所以 ………………………………6分 ．…………………………………………………………8分（2）在△中，由正弦定理，得，………………………………10分所以．……………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区数量为个．……………………………………… ………………………………2分设这个社区能进入第二轮评比为事件，则．所以这个社区能进入第二轮评比的概率为．……………………………………………………4分（2）由表可知“居民素质”得分有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为个、个、个、个、9个．…………………………………………………………6分所以“居民素质”得分的分布列为：……………………………………8分因为“居民素质”得分的均值（数学期望）为，所以．…………………………………10分即．因为社区总数为个，所以．解得，．…………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：根据题意，在中，，，所以，所以.………………………………………………………2分 因为是正方形的对角线，所以．………………………………………………………………………………………3分因为，所以.………………………………………………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，，如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，…………………………………………………………5分则有，，，．设，则，．………………………………6分又设面的法向量为，ABCDOyxz则即 所以，令，则．所以．………………………8分因为平面的一个法向量为，且二面角的大小为，………………………………………………………………9分所以，得．因为，所以．解得．所以．………… ……………………10分设平面的法向量为，因为，则，即令，则．所以．…………………………………………………………………………………12分设二面角的平面角为，所以．……………………………………………13分所以．ABCDOHK 所以二面角的正切值为．…………………………………………………………14分解法2：折叠后在△中，，在△中，．……………………………5分 所以是二面角的平面角， 即．………………………………………6分在△中，，所以．………………………………………………………………………………………7分如图，过点作的垂线交延长线于点，因为，，且，所以平面．…………………………………… ……………………8分因为平面，所以．又，且，所以平面．……………………………………9分过点作作，垂足为，连接， 因为，，所以平面．…………………………………10分因为平面，所以．所以为二面角的平面角．……………………………………………………11分在△中，，，则，，所以．………………………………………………………12分在△中，，所以………………………………………13分在△中，．所以二面角的正切值为．…………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）由题设知，，， ………………………………1分由，得．……………………………………3分解得．所以椭圆的方程为．…………………………………………………………4分（2）方法1：设圆的圆心为，则 ………………………………………………………………6分 …… ……………………………………………7分．………………………………………………………………8分从而求的最大值转化为求的最大值．………………………………………………9分因为是椭圆上的任意一点，设，…………………………………………………10分所以，即．…………………………………………………………11分因为点，所以．……………………………12分因为，所以当时，取得最大值12．……………………………13分所以的最大值为11．………………………………………………………………………14分方法2：设点，因为的中点坐标为，所以 ………………………………………………6分所以……………………………………………7分 ．…………………………………………………9分因为点在圆上，所以，即．………………………10分因为点在椭圆上，所以，即．…………………………………11分所以．……………………………………………12分因为，所以当时，．………………………………14分方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，………………………………6分由，解得．………………………………………………………7分因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即．…………………………………………………………8分所以， ……………………………………………………9分所以． ……………………………………………………10分因为，所以当时，取得最大值11．…………………………11分②若直线的斜率不存在，此时的方程为， 由，解得或．不妨设，，．………………………………… …………………12分因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即．所以，．所以． 因为，所以当时，取得最大值11．…………………………13分综上可知，的最大值为11．………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）方法1：假设存在实数，使数列为等比数列，则有． ①……………………………………1分由，，且，得，．所以，，，………………2分所以，解得或．…………………………………………………………………………………3分当时，，，且，有．………………………………………………4分当时，，，且，有．…………………………………………5分所以存在实数，使数列为等比数列．当时，数列为首项是、公比是的等比数列；当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分方法2：假设存在实数，使数列为等比数列，设，……………………………………………………………………………………1分即，…………………………… ………………………2分即．………………………………………………………………………3分与已知比较，令………………………………………………………4分解得或．…………………………………………………………………………………5分所以存在实数，使数列为等比数列．当时，数列为首项是、公比是的等比数列；当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分（2）解法1：由（1）知，……………………………………7分当为偶数时，…………………………8分 …………………………………………………………9分 ．…………………………………………………10分当为奇数时，………………………………11分 …………………………………………………………12分 ．……………………………………………13分故数列的前项和………………………………………14分注：若将上述和式合并，即得．解法2：由（1）知，…………………………………………………7分所以，……………………………………………………8分当时， ．因为也适合上式，……………………………………………………………………………10分所以．所以．…………………………………………………………………………11分则，………………12分……………………………………………………………13分 ．…………………… ………………………14分解法3：由（1）可知，…………………………………………………7分所以．…………………………………………………………………………8分则，……9分当为偶数时，………………………………………10分 ．……………………………………………11分当为奇数时，………………………………12分 ．………………………………………13分故数列的前项和………………………………………14分注：若将上述和式合并，即得．21．（本小题满分14分）解：（1）．……………1分 因为为的极值点，所以．…………………………………………………2分 即，解得．……………………………………………………………………3分 又当时，，从而的极值点成立．……………………………4分（2）因为在区间上为增函数， 所以在区间上恒成立．…………………5分 ①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故符合题意．………………………………………………………………………………………………6分②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以上恒成立．…………………………………7分 令，其对称轴为，……………………………8分 因为所以，从而上恒成立，只要即可， 因为， 解得．……………………… ……………………………………9分因为，所以．综上所述，的取值范围为．………………………………………………………10分（3）若时，方程可化为，． 问题转化为在上有解， 即求函数的值域．…………………………………………………………11分以下给出两种求函数值域的方法：方法1：因为，令， 则 ，…………………………………………………………12分 所以当，从而上为增函数， 当，从而上为减函数，…………………………………………13分 因此． 而，故， 因此当时，取得最大值0．…………………………………………………………………14分方法2：因为，所以．设，则． 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 因为，故必有，又， 因此必存在实数使得， ，所以上单调递减； 当，所以上单调递增； 当上单调递减； 又因为， 当，则，又． 因此当时，取得最大值0. …………………………… …………………………14分第20页。