我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.5.1.5.4 4 间断点及其分类间断点及其分类 如果函数)(xf有下列三种情况之一：（1）在xx没有定义；（2）虽在xx有定义，但)(limxfxx不存在；（3）虽在xx有定义，且)(limxfxx存在，但)()(limxfxfxx，则xxf)(在点不连续1 1.间间断断点点的的定定义义定定义义 3 3 若函数),()(xNxf在有定义，且xxf)(在点 不连续，则称点)(xfx 为的不不连连续续点点（或间间断断点点）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（2）第第二二类类间间断断点点（设的是)(xfx间断点1）第第一一类类间间断断点点 若)0(xf和)0(xf都存在，则称的是)(xfx第一类间断点若)0()0(xfxf，则称的是)(xfx可可去去间间断断点点若)0(xf和)0(xf中至少有一个不存在，则是称 x的)(xf第二类间断点其中极限为者称为无无穷穷间间断断点点。
2.间断点的分类间断点的分类我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例1xy tan在2x处无定义，2x是xy tan的一个间断点xxtanlim2，2x是xy tan的第第二二类类间间断断点点，且是无无穷穷间间断断点点我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例2xy1sin在0 x处无定义，0 x是xy1sin的一个间断点xx1sinlim0不存在，0 x是xy1sin的第第二二类类间间断断点点我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例311)(2xxxf在点1x处无定义，1x是11)(2xxxf的一个间断点2)1(lim11lim)(lim1211xxxxfxxx，若补充定义：2)1(f，则 1 ,2 1 ,11)(2xxxxxf在点1x处连续我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例 4设0 ,11sin0 ,0 0 ,sin )(xxxxxxxxf，1sinlim)00(0 xxfx，1)11sin(lim)00(0 xxfx，1)(lim0 xfx，但0)0(1)(lim0fxfx，若改变定义：1)0(f，则)(xf在点0 x处连续。
我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例 5讨论下列函数的连续性，并指出间断点的类型1）xxexf111)(解：间断点为0 x，1x，)(1,1),0(,0),()(在xf内连续xxxxexf10011lim)(lim，0 x为第第二二类类间间断断点点，且是无无穷穷间间断断点点我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物011lim)(lim111xxxxexf，111lim)(lim111xxxxexf，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（2）1 ,1 ,11arctan)1()(2xxxxxxf.当1x时，根据初等函数在其定义区间上是连续的结论，知)(xf在)(1,1),1(1),(内连续解：)(xf是分段函数，1x是“分界点”011arctan)1(lim)(lim211xxxfxx，1)1(f，)1()(lim1fxfx，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物11arctan)1(lim)(lim21 1 xxxfxx，11arctan)1(lim)(lim21 1 xxxfxx，)(lim1 xfx不存在，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.5.1.5.5 5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 注注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 不一定成立。
例如：)1 ,0(1)(Cxxf，但)(xf在)1 ,0(内无界定定理理 4 4（有有界界性性定定理理）设 ,baCf，则 ,baf 在 上有界，即0 M，,bax，有Mxf)(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyoab)(xfy)(xf)(xf xx 定定理理 5 5（最最大大最最小小值值定定理理）设 ,baCf，则存在 ,baxx，,bax，有)()()(xfxfxf我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（2）如果)(xf在闭区间上有间断点，那么定理的结论 不一定成立例如：1,0 ,10 0,0,1 ,1)(xxxxxxf在 1 ,1上无最大值和最小值注注：（1）如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论不 一定成立例如：xxf)(在)1 ,1(内连续，但 xxf)(在)1 ,1(内无最大值也无最小值xy11-1-1o我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定定理理6 6（零零点点定定理理）设 ,baCf，且0)()(bfaf，则至少存在一点),(bac，使得0)(cf。
xyoab)(xfyc定理 6 的几何意义是：若连续曲线弧)(xfy的两个端点位于轴 x的不同侧，则这段曲线弧与轴 x至少有一个交点我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理 7 7（介值定理）（介值定理）设 ,baCf，且)(min,xfmbax，)(max,xfMbax，则对任意 ,Mm，都存在 ,bac，使得)(cf定理 7 的几何意义是：连续曲线弧)(xfy与直线y 至少有一个交点xyoab)(xfycMm我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 由定定理理 6 6，存在,),(baxxc，则 ,xxCF，证证明明：若Mm，则)(xf在,ba上为常数，结论成立设Mm，由定定理理 5 5，存在 ,baxx，使得 Mxfmxf)(,)(不妨设xx 若)()(xfxf 或，则xcxc 或取即可且0)()(xfxF，0)()(xfxF，使得0)(cF，若)()(xfxf，令)()(xfxF，即)(cf。
我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 证证明明：令12)(xxxf，则 1 ,0Cf，01)0(f，01)1(f，存在)1 ,0(c，使012)(cccf，即方程012xx在)1 ,0(内至少有一个实数根例 6证明方程012xx在)1 ,0(内至少有一个实数根我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例7证明：实系数方程023cbxaxx必有实根证证明明：令cbxaxxxf23)(，则)(xf在),(内连续)1(lim)(lim323 xcxbxaxxfxx，)1(lim)(lim323 xcxbxaxxfxx，必存在)(,2121xxxx，使得0)(,0)(21xfxf，而,)(21xxxf在上连续，故由零点定理知，必存在),(21xxc，使得0)(cf，即方程023cbxaxx必有实根我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例 8设 ,baCf，证明：若bxxxak21（k为某一正整数），则存在 ,bac，使kiixfkcf1)(1)(。
证证明明：,baCf，,1baxxk，,C(x)1kxxf，kMxfxfxfkmk)()()(21，Mxfxfxfkmk)()()(121，由介值定理可知，存在,),(1baxxck，使得kiixfkcf1)(1)(因而,)(1kxxxf在上有最小m 值和最大M 值，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.5.6 函数的一致连续性我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物oxy22)(xfy x1x)(xf)(1xfx 1x 上处处连续在区间Ixf)(上一致连续在区间Ixf)(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例9 考察下列函数的连续性和一致连续性)1,0(ii)10()1,(i)1)2(),(cos)1(xrrxxyxx y其中我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物习习 题题 1.51.5 A 5A 5；8(2)(3)(4)8(2)(3)(4)；9 9(2)(3)(5)(2)(3)(5)；12 12(2)(3)(2)(3)；1313(1)(3)(1)(3)；1414；B 2B 2；5 5.作作业业。