§12.6 离散型随机变量的均值与方差1. 考查离散型随机变量的均值与方差的概念；2.利用均值、方差解决一些实际问题．【复习备考要这样做】理解随机变量的均值、方差的意义、作用，能解决一些简单的实际问题.基础知识•自主学习I要点梳理I1． 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1X2• • •x.i• • •xnPp1p2• • •pi• • •pn(1)均值称E(X二工疋十一+兀护? xp H岸矿为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差n称D(X)=E (x.-E(X))2p.为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的 i=i 1 1平均偏离程度，其算术平方根I；丽为随机变量X的标准差.2． 均值与方差的性质(1) E(aX+ b)=aE(X)+b.(2) D(aX+b)=a2D(X). (a, b 为常数)3． 两点分布与二项分布的均值、方差(1) 若 X 服从两点分布，则 E(X)=__p__, D(X)=p(1-p).(2) 若 X〜B(n, p)，则 E(X) = np__， D(X)=np(1 —p).［难点正本 疑点清源］1. 对均值(或数学期望)的理解 (1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．(2) E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值取值的平均状态.(3) 公式E(X) = x1p1 + x2p2 + ^ + x^n直接给出了 E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加．由此可知，求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列．2.方差的意义D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X 的取值越分散，反之D(X)越小，X的取值越集中，由方差定义知，方差是建立在期望这 一概念之上的•在E(X)附近，统计中常用\：DX)来描述X的分散程度.I基础自测I1.若随机变量乙的分布列如下表，则E(勺的值为 012345p2x3x7x2x3xx答案20解析根据概率之和为1,求出x = 118 ,则 EQ = 0X2x+ 1X3x+ …+5x = 40x二209-2.(2017・浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假 定该毕业生得到甲公司面试的概率为2,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公 司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=^2,则随机变量X的数学期望E(X)= .答案5解析 由题意知P(X=0) = |(1 -p)2詁，•:P随机变量X的分布列为1- 2X0123P丄1213_5_1263.2 +1- 3X1 + 丄12X0某射手射击所得环数E的分布列如下:78910Px0.10.3y()已知乙的期望E(勺= 8.9，则y的值为A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9答案 Ax + 0.1 + 0.3+y= 1 解析由<7x + 8X0.1 +9X0.3 + 10y = 8.9可得 y= 0.4.4.已知X的分布列为设 Y= 2X＋3，则E（Y）的值为A.fB・ 4CD・ 1()X-101111PP236答案 A1- 3解析 E(X) = (- 1)x2 + 0x|+1X1 =AE(Y) = 2E(X) + 3 = 2X(^- 3^ + 3 = 3.()5・ 设随机变量X〜B(n, p), 且 E(X)=1.6, D(X) = 1.28,贝VA. n = 8, p = 0・2 B・ n=4, p = 0・4C・ n=5, p=0.32 D・ n=7, p=0.45答案 A解析•••X~B(n , p) , :.E(X) = np= 1.6 ,n = 8 ,D(X) ― np(1 - p)二 1.28 , • J[p 二 0.2.题型分类・深度剖析登陆 免费聆听名师教你解题下表：题型一 离散型随机变量的均值、方差降水量XX<300300WXV700700WXV900X2900工期延误天数Y02610【例1】（2012.湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1) 工期延误天数Y的均值与方差；(2) 在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率.思维启迪：先求出降水量在各范围内的概率，再求对应工期延误天数的概率，列出Y的分布列．解 (1)由已知条件和概率的加法公式有P(Xv300)二 0.3 ,P(300WXv700)二 P(Xv700) - P(X<300)二 0.7 - 0.3 二 0.4 ,P(700WXv900)二 P(Xv900) - P(X<700)二 0.9 - 0.7 二 0.2 ,P(X2900)二 1 - P(Xv900)二 1 - 0.9 二 0・1・所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y) = 0X0.3 + 2X 0.4 + 6X 0.2 + 10X 0.1 = 3 ；D(Y) = (0 - 3)2X0.3 + (2 - 3)2X0.4 + (6 - 3)2X0.2 + (10 - 3)2X0.1 =9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得 P(X2300) = 1 - P(Xv300) = 0.7 ,又 P(300WXv900) = P(Xv900) - P(Xv300)= 0.9- 0.3= 0.6.由条件概率，得 P(YW6IX2300) = P(Xv900X2300)P(300WXv900) 0.6 6= P(X2300) =0.7=7.故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是号.探究提高 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出 随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)概率与统计的结合是高考的热点，熟练掌握基础知识，理解二者的联系是解题的关键 变式训练1某中学在高三开设了 4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课.对 于该年级的甲、乙、丙3 名学生，回答下面的问题：(1) 求这 3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2) 某一选修课被这3 名学生选修的人数的数学期望．解(1)3名学生选择的选修课互不相同的概率：p1=^43=l ；(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为w ,贝 I」W=0,1,2,3.P(W=0) =33_2743 = 64P(W=1) =C132 273 =43 = 64C23 9 陀=2)=皐=64 p(d=3)= * = 64・所以w的分布列为w0123P2727_9_丄64646464数学期望 E(W) = 0X27+1x|7 + 2x64 + 3X614 = 4.题型二 二项分布的均值、方差【例2】某人投弹命中目标的概率p=0.8.(1) 求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2) 求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差.思维启迪：投弹一次，X服从两点分布；重复10次，Y服从二项分布.解(1)随机变量X的分布列为X01P0.20.8因为 X服从两点分布，故E(X)=p = 0.8 , D(X)=p(1 -p) = 0.8X0.2 = 0.16.(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即 Y~B(10 , 0.8),AE(y)= np= 10X0.8 = 8 , D(Y) = np(1 -p) = 10X0.8X0.2 = 1.6.探究提高 若 X〜B(n, p),则 E(X)=np, D(X)=np(1_p).变式训练2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物•某 人一次种植了 n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p,设d为成活沙 柳的株数，数学期望E(d) = 3，标准差3) = 1题型三 均值与方差的应用【例3】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为1、£ 1；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整 中，价格下降的概率都是p(0vp<1),设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记 乙项目产品价格在一年内的下降次数为X,对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时， 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量％、X2分别表示对甲、乙 两项目各投资10万元一年后的利润.(1) 求 X1，X2的概率分布列和均值E(X1), E(X2)；(2) 当E(X])vE(X2)时，求p的取值范围.思维启迪：(1)求分布列，应先确定X的取值，再求X的取值对应的概率；⑵由E(X1)1.18 ,整理得(p + 0.4)(p - 0.3)v0 ,解得-0.4vpv0.3.因为0vpv1，所以当E(X])vE(X2)时，p 的取值范围是 0=^.[8 分]所以$的分布列为0123p4856192125125125125[10分]48 56 19 2 4所以 E($) = 0X^+ 1X^ +2X^ + 3X1^ = j.[12 分]答题模板求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求每一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列． 第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒 (1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)本题解答中的 典型错误是计算不准确以及解答不规范.如第(3)问中，不明确写出d的所有可能值，不 逐个求概率，这都属于解答不规范.思想方法・感悟提高方法与技巧1． 期望与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1) E(ad + b) = aE(d) + b ；E(d + n) = E(d) + E(n)；D(ad + b) = a2D(d)；(2) 若 d~B(n , p)，则 E(d) = np , D(d) = np(1 - p).2． 基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2) 已知随机变量d的期望、方差，求d的线性函数n = ad+b的期望、方差和标准差，可直接用d的期望、方差的性质求解；(3) 如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它 们的期望、方差公式求解.失误与防范1. 在没有准确判断概率分布列模型之前不能乱套公式.2. 对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再 进行分析，求出随机变量的概率分布列，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标 准差.练出高分A 组 专项基础训练（时间：35 分钟，满分：57 分）一、选择题（每小题 5分，共 20 分）()1.已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E（X） = 6.3,则a的值为X4a9P0.50.1bA.5 B．6 C．7 D．8答案 C解析 由分布列性质知：0.5 + 0.1 + b=1 , Ab = 0.4.A.E(X) = 4X0.5 + aX0.1 + 9X0.4 = 6.3 , Aa = 7.2.已知X的分布列为A. 1B. 2，且 Y= aX＋3，7E（Y）=3，则a的值为（）C. 3D. 4答案 B13.解析 先求出 E(X) = ( - 1)X1 + 0x|+1x6 =再由 Y= aX+ 3 得 E（Y）= aE（X）+ 3..°・3 = aX（-|） + 3.解得 a = 2.3. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为 （）A. 2.44 B. 3.376 C. 2.376 D. 2.4答案 C解析 X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为X3210P0.60.240.0960.064. E(X)= 3X0.6+ 2X0.24+ 1X0.096+ 0X0.064= 2.376.4. 体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止 发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为pQHO），发球次数为X, 若X的数学期望E（X）＞1.75,则p的取值范围是 （）A.（0,丄答案 C解析 由已知条件可得 P(X=1)=p ,P(X=2) = (1 -p)p ,P(X= 3) = (1 -p)2p + (l - p)3 = (1p)2，则 E(X)= P(X= 1)+ 2P(X= 2)+ 3P(X= 3)= p+ 2(1- p)p+ 3(1- p)2= p2- 3p+ 3>1.75，解 ,又由 pw(o,i)，可得 pw(o , 2).得p>2或p<1二、填空题（每小题 5分,共 15 分）5．在篮球比赛中,罚球命中1 次得1 分,不中得0 分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分X的均值是.答案 0.7解析 E（X） = 1X0.7 + 0X0.3 = 0.7.6. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D（X）= .9答案 —答案 16解析由题意知取到次品的概率为1 ,AD(X) = 3X1X1-4916.••・X~B（3，4）,7. （2011•上海）马老师从课本上抄录一个随机变量d的概率分布列如下表:x123P(d=x)?!?请小牛同学计算d的数学期望.尽管“！ ”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊,但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E（d）= .答案 2解析 设“？”处的数值为x ,则“ ！ ”处的数值为1 -2x，则E(d) =1・x + 2X(1 - 2x) + 3x = x + 2 - 4x + 3x ― 2.三、解答题（共22分）8. （10 分）为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警战士（分别记为A、B、C、D）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概2 率分别为2,1•这三项测试能否通过相互之间没有影响.（1） 求 A 能够入选的概率；（2） 规定：按入选人数得训练经费（每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经 费），求该基地得到训练经费的分布列与数学期望.解（1）设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P,则A能够入选包含以下几 个互斥事件：MN~P ，MNP，~M NP，MNP.:.P(A) = P(MN P ) + P(M N P) + P( M NP) + P(MNP)221211121221_3X3X2+3X3X2+3X3X2+3X3X2_121823.2所以，A能够入选的概率为彳（2）P（没有入选任何人） = （1p（入选了一人）=C1（3J（3）3=81，p（入选了两人）=c4（3）2（3）2=81，P（入选了三人円:②若卜32,p（入选了四人）7（|）4=86记$表示该训练基地得到的训练经费，该基地得到训练经费的分布列为03 0006 0009 00012 000P丄_8_2432西8181818181O 04 OQ 1 （2E（$） = 3 000X8J+6 000X81+9 000X斯 +12 000X昴= 8 000（元）所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元．9. （12分）（2011・重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区.设每位申请人只申请其中 一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中（1） 恰有2人申请A片区房源的概率；（2） 申请的房源所在片区的个数$的分布列与期望.解（1）方法一 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C2.22 8C?22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为寸 = 27.方法二 设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．记“申请A片区房源”为事件A，则P(A) = 1.从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为P827.31(2)$ 的所有可能值为 1,2,3.又 P($= 1) = 34 = 27，陀=2)= C2(C2C3 + C2C2)_ 143427[g2) = 4」[34 27丿C1C2C1 4P(d=3)=T^ = 9=3)3综上知，$的分布列为123114P27271 14 4 65从而有 E($)= 1X^7 + 2X27 + 3X9 = 27.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题 5分，共 15 分)2 1 41.若 X 是离散型随机变量，P(X=X])=3, P(X=x2)=3，且 X]