《直线、平面垂直的判定及性质》学案《直线与平面垂直》知识清单：1.直线与平面垂直的定义: 一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，这条直线和这个平面互相垂直.2. 直线和平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言表示为：l⊥α. 3. 直线和平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°求直线和平面所成的角的方法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来4. 直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行【基础自测】1、“直线垂直于平面a内的无数条直线”是“⊥a”的 （ ）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、如果一条直线与平面a的一条垂线垂直，那么直线与平面a的位置关系（ ） A、Ìa B、⊥a C、∥a D、Ìa或∥a3、若两直线a⊥b，且a⊥平面a，则b与a的位置关系是（ ）A、相交 B、b∥a C、bÌa D、b∥a，或bÌa4、a∥，则a平行于内的( ) A、一条确定的直线 B、任意一条直线 C、所有直线 D、无数多条平行线5、如果直线a∥平面，那么直线a与平面内的( )A、一条直线不相交 B、两条直线不相交 C、无数条直线不相交D、任意一条直线都不相交6、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定7、已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ． B． C． D． 8、已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：① ②③ ④其中正确命题的序号是（ ）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③9、已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（ ）A． B． C． D．10、如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 .11、如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 ．（第6题图） （第7题图）12、已知所在平面外一点P到三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是的 。
13、四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝Ⅰ)证明：SA⊥BC；(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小.【典型例题】例1、如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.例2、如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.（1）求证：AC⊥BC1;（2）求证：AC1∥平面CDB1；例3、 在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：A1O⊥平面GBD.例4、（2007山东高考,文20）如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.（1） 求证：D1C⊥AC1；（选做）（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.《平面与平面垂直的判定》知识清单：1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.2. 二面角的平面角的概念: 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角0°≤θ≤180°二面角求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。
3.两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为：α⊥β. 应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.4. 两个平面垂直的性质定理: 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.AB⊥β. 【典型例题】例1、如图,⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点.求证：平面PAC⊥平面PBC.例2、如图，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC，（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角C-BD-A的余弦值.点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例3、如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若二面角P-DC-A=45°，求证：MN⊥平面PDC.例4、（2008广东深圳模拟）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点．（1）求证：平面平面；（2）设，，求点到平面的距离；点评：求点到面的距离，经常采用等体积法，利用同一个几何体，体积相等，体现了转化思想．例5、（2008广东五校联考）正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：（1）D1O//平面A1BC1;（2）D1O⊥平面MAC.点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由线线垂直推出线面垂直，证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理．例6、一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示，、分别为、 的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．。