第六章李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一因为它关系到系统是否能正常工作经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz稳定判据、Nquist判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统1892年俄国学者李雅普诺夫(Lyapunov)提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统§6-1外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述(即外部描述)和状态空间描述(即内部描述)，相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性一、外部稳定性1、定义(外部稳定性)：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的外部稳定性也称为BIBO(BoundedInputBoundedOutput)稳定性)说明：(1) 所谓有界是指如果一个函数h(t)，在时间区间［0,：：］中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k，使得对于所有的te0oo］,恒有|h(t)兰k成立。
2) 所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统、(A,B,C)的传递函数矩阵为x二AxBuy=CxsX=AXBUY=CX(sI-A)X=BUX=(sI-A)XBUG(s)=C(sI_A)当且仅当G(s)极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定(或BIBO稳定)的例】已知受控系统状态空间表达式为6-2<+]艸，y=IO1】x试分析系统的外部稳定性解：系统为SISO系统，传递函数为G(s)=C(sl_A)」B=01丨；—6存2]sfb」s—2「（s-2）（s3）1一s+3由于传递函数的极点位于s左平面，故系统是外部稳定的内部稳定性对于线性定常系统x二AxBu，X（tXo如果外部输入U（t）二0，初始条件x0为任意，且由x0引起的零输入响应为X（t）=叫t,t°）X°满足lim（t,t°）x°二0t-■则称系统是内部稳定的，或称为系统是渐近稳定的说明：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致例6.1.2】已知受控系统状态空间表达式为x异6冷叫,〔1T一〔1」y='01>x试分析系统的内部稳定性解：该系统为线性定常系统，其特征方程为：入|—A=入（九+1）—6=©—2）（九+3）=0于是系统的特征值为[=2,'2=-3，故系统不是内部稳定（渐近稳定）的。
三、内部稳定性与外部稳定性的关系1、若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（BIBO稳定）的2、若系统是外部稳定（BIB0稳定）的，且又是可控可观测的，则系统是内部稳定（渐近稳定）的此时内部稳定和外部稳定是等价的§6-2李雅普诺夫稳定性的基本概念—、自治系统没有外界输入作用的系统叫自治系统自治系统可用如下的显含时间t的状态方程来描述X=f（x,t）,X（to）=Xo,t_to（6-1）其中X为n维状态向量f（x,t）为线性或非线性、定常或时变的n维向量函数假定方程的解为X（t；Xo,to）,式中Xo和to分别为初始状态向量和初始时刻，那么初始条件Xo必满足X（to；Xo,to）=Xo如果系统为线性系统，则（6-1）方程中的f（x,t）为X的线性向量函数，或按习惯表示为：X=A（t）X,X（to）=Xo,t-to（6-2）二、平衡状态设控制系统的齐次状态方程为：X二f（X,t）,x（to）=Xo,t—to对于所有t，如果存在某个状态Xe，满足：Xe二f（Xe，t）=0则称Xe为系统的一个平衡点或平衡状态平衡状态的各分量相对时间不再发生变化若已知系统状态方程，令X=O所求得的解X，便是平衡状态。
在大多数情况下，Xe=O（状态空间原点）为系统的一个平衡状态当然，系统也可以有非零平衡状态如果系统的平衡状态在状态空间中表现为彼此分隔的孤立点，则称其为孤立平衡状态对于孤立平衡状态，总是可以通过移动坐标系而将其转换为状态空间的原点，所以在下面的讨论中，假定原点即Xe为平衡状态所谓系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动，能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在平衡状态的附近线性定常系统X=Ax，其平衡状态满足AXe=O，只要A非奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态；当A为奇异矩阵时，Axe=o有无数解，也就是系统有无数个平衡状态对于非线性系统，f（Xe,t）=0的解可能有多个，由系统状态方程决定三、李雅普诺夫意义下稳定设系统初始状态x0位于以平衡状态Xe为球心、半径为：的闭球域SG）内，即X—Xe_、•（；,to）t若能使系统方程的解x（t；x0,t0）在t>::的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径为；的闭球域S（；）内，即||x（t；Xo,to）—Xe|"t»0则称该Xe是稳定的，通常称Xe为李雅普诺夫意义下稳定的平衡状态。
以二维系统为例，上述定义的平面几何表示如图6-1所示X2Xix0-初始状态Xe-平衡状态x0-xe表示状态空间中x0至xe点图6-1二维空间李雅普诺夫意义下稳定性的几何解释示意图式中*称为向量的范数，其几何意义是空间距离的尺度如之间的距离的尺度，其数学表达式为XXe二、(Xio-Xie/•…(Xno-Xne)2在上述稳定性的定义中，如果：只依赖于■:而和初始时刻t0的选取无关，则称平衡状态xe是一致稳定的对于定常系统，Xe的稳定等价于一致稳定但对于时变系统，Xe的稳定并不意味着其为一致稳定要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超过S（；），则认为稳定，这同经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的四、渐近稳定设Xe是系统X=f（X,t）,X（to）=Xo,t_to的一个孤立平衡状态，如果（1）Xe是李雅普诺夫意义下稳定的;（2）!im』x（t;Xo,to）—XeT0t—JPC1则称此平衡状态是渐近稳定的Xo-初始状态Xe-平衡状态图6-2二维空间渐近稳定性的几何解释示意图实际上，渐近稳定即为工程意义下的稳定，也就是经典控制理论中所讨论的稳定性。
当关时，称平衡状态Xe是一致渐近稳定的五、大范围（全局）渐近稳定当初始条件扩展到整个状态空间，且具有渐近稳定性时，称此平衡状态Xe是大范围渐近稳定的对于严格线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围渐近稳定性,这是因为线性系统稳定性与初始条件的大小无关一般非线性系统的稳定性与初始条件的大小密切相关，其：总是有限的，故通常只能在小范围内渐近稳定当「•与t0无关时，称平衡状态Xe是大范围一致渐近稳定六、不稳定不管把域SC）取得多么小，也不管把域s（；）取得如何的大，只要在SG-）内存在一个非零初始状态Xo，使得有Xo出发的运动轨迹超出域S（；）以外，则称平衡状态Xe是不稳定的线性系统的平衡状态不稳定，表征系统不稳定非线性系统的平衡状态不稳定，只说明存在局部发散的轨迹，至于是否趋于无穷远，要看S（；）域外是否存在其它平衡状态，若存在，如有极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下稳定的下面介绍李雅普诺夫理论中判断系统稳定性的方法§6-3李雅普诺夫稳定性判别方法、李雅普诺夫第一法(间接法)这是利用状态方程解的特性来判别系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变以及非线性函数可线性化的情况由于本章主要研究线性定常系统，所以在此仅介绍线性定常系统的特征值判据。
线性定常系统的特征值判据：对于线性定常系统x=Ax，x(0)=x0，t_o有(1)系统的平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有非正(负或零)实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根2) 系统的惟一平衡状态Xe=0是渐近稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有负实部二、李雅普诺夫第二法(直接法)根据古典力学中的振动现象，若系统能量(含动能与位能)随时间推移而衰减，系统迟早回到达平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事李雅普诺夫提出，可虚构一个能量函数(后来被称为李雅普诺夫函数)，一般它与X「X2，…，Xn及t有关，记为V(X,t)若不显含t，则记为V(X)它是一个标量函数，考虑到能量函数总是大于零，故为正定函数能量衰减特性用V(x,t)或V(x)表示李雅普诺夫第二法利用V及V的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出系统状态方程的解，故称直接法用此方法解决了一些用其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，遗憾的是对一般非线性系统仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法对于线性系统，通常用二次型函数XTPx作为李雅普诺夫函数1、标量函数V(x)符号性质的几个定义(1) 正定性标量函数V(x)在域s中对所有非零状态(x=0)有V(x)•0且V(0)=0，则称V(x)在域s内Xo-初始状态22正定。
如V(x)=x2是正定的2) 负定性标量函数V(x)在域s中对所有非零状态(x=0)有V(x)::：0且V(0)=0，则称V(x)在域s内负定如V(x)--(x1-x2)是正定的3) 正半定性V(0)=0,且标量函数V(x)在域s内某些非零状态处有V(x)二0,而在其它非零状态处有2V(x)■0且，则称V(x)在域s内正半定女口V(x^(x12x2)2，当x1=:「2x2时有V(x)=0;当Xi=-2X2时有V(x)・0,故V(x)为正半定4) 负半定性V(0)=0，且标量函数V(x)在域s内某些状态处有V(x)=0，而在其它状态处有V(x)：：：0且,则称V(x)在域s内负半定女口V(x^-(x12x2)2是负半定的5) 不定性标量函数V(x)在域s内可正可负，则称V(x)不定如Vdl^xM?是不定的2、标量函数V(x)取二次型时的符号P12P1nX1P22…P2nX2_PiiV(x)=xTPx=&X2…xjP21Pn2Pnnxn_Pn1式中P为对称矩阵，有Pij=Pji显然满足V(0)=0当P阵的每一个元都为实数时，称作实二次型实二次型V(x)是正定的充要条件是矩阵P的各顺序主子行列式均大于零(赛尔维斯特准则)，即P110，P11P21P12P220，…，P11aPn1P1n:>0Pnn则V(x)正定，且称P为正定矩阵。
当矩阵P的各顺序主子行列式负、正相间时，即P11::0,P11P21P12P22P11(-1T'Pn1P1n>0Pnn则V(x)负定，且称P为负定矩阵若矩阵P的各顺序主子行列式含有等于零的情况,则V(x)为正半定或负半定不属于以上所有情况的，V(x)为不定例】证明下列的二次型是正定的222V(x)=10%4x2x32x1x2-2x2x3-4x1x3证明：上式用矩阵形式表示为101V(x)=xTPx=Mx2xj14-2-1-1X21」Lx3_lp11==10>0P11p12101=39>0p21p2214P11p12p13101-2p21p22p23=14-1p31p32p33-2-11由于所以，V(x)是正定的3、李雅普诺夫第二法定理1设系统的状态方程为x=f(x)f(0)=0如果存在一个标量函数V(x)，它有连续的一阶偏导数，而且满足：(1)V(x)是正定的；(2)V(x)是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的例】设系统的状态方程是x1=x2-x1(x12xf)x2=_X<|_x2(x2x|)试分析系统在原点处的平衡状态是否为渐近稳定的解：令X1=0及X2=0，解得X1=0,X2=0，故原点为平衡状态，且只有一个平衡状态。
222设V(x)=X12x；，则V(x)二2X1X12X2X2--2(X1X2)显然，对于x=0存在V(x)：：：0以及V(0)=0，故V(x)是负定的又由于V(x)是正定的，所以该系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的因为只有一个平衡状态，故该系统是渐进稳定的例634】设系统的状态方程是Xi01Xi-=公2-1-1」2-试分析系统在原点处的平衡状态是否为渐近稳定的解：这个系统的平衡点是x<|=X2=0先猜想一个能代表系统能量的正定函数22V(x)=2人x2则:V(x)=4x1x12x2x2由原状态方程知：x^=x2，x2二-X[-x2，代入上式得(x)=2x^2-2x|它是不定的，因而无法判断系统的稳定性1) 重新构造正定函数V(X):22(x)=X1x2'--2因此：V(x^2x1x12x2x2=-2x2它是负半定的但是因为V(x)不恒为零，所以可知该系统是渐近稳定的V(x)是李亚普诺夫函数再取函数V(x)=丄阮x2)22x：x；12因此：V(x)—(x2•X；)是负定的且：1仪卜珀，V(X)t珀，故是大范围渐近稳定从上述例子可以看出，找到一个系统的李亚普诺夫函数证明系统是稳定时，则系统必定是稳定的；反之，如果用李亚普诺夫第二法不能判断系统是稳定时，并不能得出系统是不稳定的。
4.3线性定常系统的稳定性分析线性定常系统可以应用各种方法，诸如劳斯一霍尔维茨，奈奎斯特法来判断系统的稳定性李亚普诺夫直接法也提供了一种稳定性判据的方法在上一节的例4-3中，我们用猜想和试探、验证的方法来找李亚普诺夫函数，这是很费时的，对于高阶的系统尤其费时，有时甚至是困难的在本节中，采用二次型函数来判定系统稳定性，这种方法较为简捷，并且还可以利用这种方法作为基础来解参数最优问题以及某些控制系统的设计问题设线性定常系统为X二AX（4-18）式中x是n维状态向量V 如果采用二次型函数作为李亚普诺夫函数，即（4-19）（4-20）（4-21）（4-22）（4-23）xI=xTPxV 式中P是正定的实对称矩阵那么对上式求导得・T■-Tx二xPxXPxV 将式（4-18）代入（4-20）式得x二xtPAxxtAtPx=xtPAATPx令-Q二PAAtP代入式（4-21）得Vx二-xTQx从上式可以看出，为了判定V（x）是否负定，只需要判定Q是否正定因此，判定线性定常系统的稳定性可如下进行：选定一个正定实对称矩阵P,按式（4-22）计算Q,如果Q是正定的，则式（4-19）所表达的李亚普诺夫函数证明系统是稳定的。
实际应用这个方法时，常不是先假定P,而是先假设一个正定矩阵Q,例如取Q=I,再按式（4-22）计算P,应用赛尔维斯特法则检查P是否正定如果P是正定的，则系统是渐进稳定的这样做法，有时要方便得多如果，VX=-xtQx沿任意一条轨迹不恒等于零，那么Q可取正半定的，［例4-4］设系统的状态方程为x1010x1讣0-21|x2|,3」「k0-山3」求使系统稳定的K值［解］假设000Q=000001一由式（4-23）得■00V(x)=-X1,X2,X3】00XiX21丄X3_|上式中Vx不恒为零，所以这样选取Q是合适的按(4-22)式计算P:p11Pl2p13-Kp21p22p23-2-2卫31p32p33丄-K_1_Pnp12P130P21P22-p31P32P23P33-0_1解出上式得K2+12K6K12-2K6K12-2K3K12—2K12-2KK12-2K612-2K12—2K根据赛尔维斯法则，如果P是正定的，需使12-2K0所以0：：：K:::6作业：p82:4-2课堂练习：4-1判定下列二次型函数的正定性（1）Q=_x；-3x；-11x；+2X[X2_4x2x3_2X[X3Q=(-为x3)%十(为—3冷—2x3)x2+(—为—2x2—11x3)x3--11-111P=1_3一2-1_2-11一。