一维势垒—— 一维散射中的几率密度 摘 要: 利用数值计算方法研究了粒子在一维“方形”势垒中运动时的粒子的几率分布,并给出了几率密度图.从这些图我们可以清楚的看出不同能量的粒子在“方形”势垒散射时的几率分布情况, 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系.关键词:几率密度; 势垒 几率密度; 阶梯势; 势垒; 几率密度阶梯势; 势垒; 几率密度; 阶梯势; 势垒One-dimensional square potentials— One-dimensional square potentials ABSTRACT: In this paper, we outline the quantitative calculation of the stationary states of the particle. We limit ourselves to one-dimensional models. We shall give the results of this calculation for a certain number of simple cases, and discuss their physical implications. We study the motion of a particle in a “square potential” whose rapid spatial variation for certain values of introduce purely quantum effects. We consider the quantum mechanics of a particle which encounters the potential step with and . We next study more complicated potential form, the rectangular potential barrier. We draw as a function of by numerical calculation. From this figure, we can see clearly an important difference between classical mechanics and quantum mechanics.KEYWORDS：Probability density; Potential steps; Potential barriers; Classical mechanics; Quantum mechanics目 录引 言 11 势垒模型与量子力学方程 21.1 势垒模型 21.1.1 势垒模型 21.1.1.1 势垒模型 21.2量子力学方程与边界条件 32 阶梯势垒散射 52.1 模型与方程 52.2 的情况 62.3 的情况 82.4 的情况 93 方形势垒散射 123.1 模型与方程 123.2 情况 123.3 情况 153.4 情况 16总 结 17致 谢 17注 释 17参考文献 17附录 19引 言图0.1 粒子穿越势垒时的波动图像一维势垒散射问题属于量子力学非束缚定态的基本问题,几乎所有的量子力学著作中均作为主要内容加以阐述[1-5]. 对该问题深入讨论可以初步掌握经典力学与量子力学所给出的粒子的穿越势垒的不同行为的基本特征.但是大部分都是着重描述粒子在势垒存在时的穿过势垒的透射系数或被势垒反射回来的反射系数,而对于势垒存在时微观粒子的几率分布的情况却描述较少,由其对于势垒中粒子的几率分布情况更是很少涉及.并且一些书中[1-2]给出粒子穿越势垒时的波动图像存在问题(如图0.1).因为对于非束缚定态问题粒子的波函数是复函数,一般情况下很难在二维图像中表示.如果说这里给出的是粒子的几率分布图像,那么由于穿过势垒后波函数一般形式是,所以几率分布显然应该是一常数,并不存在任何的波动.为了能够对粒子在穿越势垒时的几率分布有一个清晰的认识,我们分别对粒子穿越阶梯形势垒和方形势垒的不同情况下的几率分布通过计算机数值计算给出了相应的几率密度图像.本文讨论的阶梯势垒与方形势垒由于模型简单,数学计算相对容易而使得物理图像清晰,对于深入理解粒子穿越势垒时的物理图像有一深刻正确的了解可以起到一定的作用.1 势垒模型与量子力学方程1.1 势垒模型1.1.1 势垒模型1.1.1.1 势垒模型如果空间中有两个区域, 并且在这两个区域内粒子的势能都比它在这两个区域的分界面上的势能小, 我们就说, 这两个区域是由一个势垒分隔开的.图1.1 一维势垒图1.1所示的一维势垒可以作为一维势垒最简单的例子. 纵轴上标出势能, 它是粒子的坐标的函数. 在点上势能具有极大值. 整个空间在这一点上分为两个区域: 和, 在这两个区域内. 如果我们根据经典力学来考察粒子在场中的运动, 我们马上可以说明“势垒”的意义. 粒子的总能量等于 (1.1)式中为粒子的动量, 为它的质量. 从(1.1)解出动量. 我们得到 (1.2)上式中的符号应该根据粒子的运动方向来选择. 如果粒子的能量大于势垒的“高度”, 则当粒子的初始动量时, 粒子可以毫无阻碍地从左边向右边通过势垒; 而当粒子的初始动量时,粒子通过势垒的方向正好相反.假设粒子是从左向右运动的, 其总能量小于. 于是在某一点, 势能,, 粒子将停止下来. 它的全部动能转化为势能, 因而运动将向相反的方向进行:是反转点. 因此, 当时,从左边来的粒子不能穿过势能极大值的区域, 因而便不能进入第二个区域去. 相似地, 如果粒子是从右向左运动的,而且, 则它便不能进入第二个反转点后面的区域去, 因为在点上 (参阅图1.1). 因此对于所有能量小于的粒子来说,势垒都是一个“不透明”的壁垒. 相反地, 对于能量大于的粒子, 势垒则是“透明”的. 这也就说明了“势垒”这个名称的来源.为了进一步理解势垒这个概念, 我们想象一个质量为, 在图1.2所表示的那种力函数作用下的粒子. , , ,, , , ,图1.2 一维势垒粒子受力分析在横坐标为和的两个点之间, 粒子受到一个力的作用, 此力的指向与轴的单位矢量相反在这个区域之外, 势能或为一常数, 而力等于零.在时刻,以速度, 在横坐标为的点处接近这一区域的粒子由于的作用而减速,由此得运动方程,只有当方程,具有实根时,粒子才能到达横坐标为的点, 这就要求,如果不是这样, 粒子的能量小于 (1.3)这个粒子就不可能到达势能变化区的端点. 因而粒子要被反射回来, 并重新向反向运动. 使趋于零,而保持值不变, 力就变的无限大, 作用区变得无限薄. 方程(1.3)所表示的结果依旧成立, 因为它与宽度无关.1.2量子力学方程与边界条件如果我们谈的是微观粒子在微观场中的运动, 也就是在谈到不能略去量子效应的运动时. 在势垒附近发生的现象就完全不同了.在这种情况下, 与经典力学的结论相反, 能量大于势垒高度的粒子有一部分为势垒反射,而能量小于的粒子也有一部分会穿过势垒.在量子力学里, 必须知道波函数, 因此必须要解薛定谔方程 (1.4)一维散射问题是一个非束缚态问题(与时间无关, 而是正的).因此令 (1.5)由此得到 (1.6)按照势能的形式, 方程(1.6)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式 (1.7) (1.8)为了确定波函数要满足的边界条件, 我们把和看作是的缓变函数, 在图1.2中为方便取, 于是,在点附近对方程(1.7)求积分, 我们得到即由此得 (1.9)当取极限时, 我们得到一个边界条件 (1.10)其次, 根据波函数的连续性的普遍要求,我们有第二个边界条件: (1.11)因为在点并没有任何特殊之处, 所以条件(1.10)和(1.11)在任一点都能得到满足. 实际上上述边界条件在任何势能函数跃变的地方均可以满足.2 阶梯势垒散射2.1 模型与方程本章中,我们将讨论体系势能在无限远处为有限的情况,这时粒子可以在无限远处出现,波函数在无限远处不为零,由于没有无限远处波函数为零的约束,体系能量可以取任意值,即能级组成连续谱.这类问题属于粒子被势函数散射的问题,粒子从无限远处来,被势场散射后又到无限远处去.在这类问题中,粒子的能量是预先给定的.考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域内等于常量,而在区域内等于零,即 (2.1)我们称这种势为阶梯势垒(图2.1). 具有一定能量的粒子由势垒左方向右方运动.图2.1 一维阶梯势垒在经典力学中,只有能量大于的粒子才能越过势垒运动到的区域;能量小于的粒子运动到势垒左方边缘(处)时被反射回去,不能透过势垒.在量子力学中,情况却不是这样.能量大于的粒子有可能越过势垒,但也有可能被反射回来;而能量小于的粒子有可能被势垒反射回来,但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边的区域中去.粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程是 (2.2)和 (2.3)或改写成 (2.4)和 (2.5)下面我们分两种情况分别进行讨论.2.2 的情况现在令 (2.6)则得 (2.7)和 (2.8)容易得出方程(2.7)和(2.8)的解为 (2.9) (2.10)由(1.5)式可知,当(2.9)和(2.10)式中的波函数、乘上时间因子后, 、中的第一项和第二项分别描述的是由左向右传播的平面波和由右向左传播的平面波. 由于在处的边界条件并不足以确定(2.9)和(2.10)中的4个未知常数, 为确定这些常数我们假设粒子自左向右运动.当为很大的正值时, 波函数应该描述越过“壁顶”并沿轴的正方向运动的一个粒子, 它的渐近形式必然是 (2.11)即取. 由处的边界条件:, (2.12) (2.13)我们有 (2.14) (2.15)(2.14)和(2.15)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系如下: (2.16) (2.17)由这两式可以求出透射波和反射波的几率密度与入射波几率密度之比.将入射波、透射波和反射波依次代换下式中的,得入射波的几率流密度为透射波的几率流密度为反射波的几率流密度为透射波的几率流密度与入射波的几率流密度之比称为透射系数,以表示.这个比值也就是贯穿到区域的粒子在单位时间内流过垂直于方向的单位面积的数目,与入射粒子(在区域)单位时间内流过垂直于方向的单位面积的数目之比.由上面的结果,有 (2.18)反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,以表示.由上面结果,有 (2.19)由上两式可见,和都小于1,和之和等于1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒区域,另一部分被势垒反射回去.为画出粒子分布的几率密度图,我们令入射波的振幅,得到 (2.20) (2.21)粒子的几率密度分布如图2.2所示.要注意当, 即时,势垒消失,因此反射为零,透射系数.此时只有入射波而没有反射波,在、的区域粒子分布的几率密度相同,如图2.3所示.图2.3 设,,粒子几率密度图.图2.2 设,,粒子几率密度图.2.3 的情况此时我们只要令, (2.22)则我们得到: (2.23) (2.24)由于当时,波函数应该保持有限,所以应取(2.24)中的.因此有 (2.25) (2.26)此时反射系数为: (2.27)透射系数为: (2.27)与经典力学不同的是,虽然透射系数为零,但在区域找到粒子的几率并不为零.如果我们取,则可将波函数写作: (2.28) (2.29)从(2.28)可以看出虽然入射波与反射波的振幅相同,反射系数为1,但由于为一复数,所以反射波相对于入射波有一相移因子.这与经典力学无共同之处,但与光在金属表面反射时的情况类似.造成这种原因是因为粒子进入了区域延误所致.图2.4设,,粒子几率密度图.图2.5设,,粒子几率密度图.由(2.28)和(2.29)式我们可以画出在和区域中找到粒子的几率密度曲线.从图中可以明显的看出,在找到粒子的几率随着的增加而指数衰减,在的区域内,找到粒子的几率几乎可以忽略不计.值得注意的是由于反射波的振幅与入射波的振幅相同,所以入射波与反射波在的区域中发生干涉,使得一些点,这是干涉相消的结果.这与时的情况不同,因为在时入射波的强度大于反射波的强度,干涉相消的结果只使的区域中的一些点的几率密度取极小值,另一点取极大值,但不会完全为零.当然当时,反射波的振幅接近入射波的振幅,因而那些取极小值的点将趋于零.2.4 的情况当势垒高度趋于无穷大时,即时的解,可以由的情况中令得到: (2.30) (2.31)此时反射系数为: (2.32)透射系数为: (2.33)如果我们令,则可将波函数写成如下形式: (2.34) (2.35)值得注意的是,由(2.34)和(2.35)式给出的波函数和,在点处波函数连续,但波函数的导数并不连续.这是因为在时,在(1.9)式中右端的积分在时,由于并不等于零.所以在这种情况下,波函数仍然保持连续但波函数的导数却不在连续.我们可以由方程(2.34)和(2.35)给出的波函数和,绘出在和区域找到粒子的几率曲线图2.6.由于此时入射波与反射波的振幅相等,相位相差,显然在区域中入射波与反射波干涉相消会使得一些点的几率密度为零.实际上时所给出的粒子几率分布曲线图2.6,是在时的极限情况.为了说明这一点,我们利用方程(2.28)和(2.29)分别取为、和画出图2.7、图2.8和图2.9.从图中可以看出当时与图2.6已经很接近,而当取时图2.9与图2.6已经无法区别.从这里可以理解实际上所谓的情况实际上是势垒比粒子能量高的多时的一种理想近似.图2.6当,取,时的粒子几率密度图.图2.7当,取,时的粒子几率密度图.图2.8当,取,时的粒子的几率密度图.图2.9当,取,时的粒子几率密度图.3 方形势垒散射3.1 模型与方程图3.1 一维方势垒考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域内等于常量,而在这个区域外等于零,即 (3.1)我们称这种势为方势垒(图3.1).具有一定能量的粒子由势垒左方向右方运动.粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程是 (3.2)和 (3.3)同第二章一样我们分两种情况分别进行讨论.3.2 情况与(2.6)式一样我们定义和将方程(3.2)和(3.3)改写为 (3.4)和 (3.5)此处都是大于零的实数.在区域内,波函数 (3.6)是方程(3.4)的解.在区域内,方程(3.5)的解是, (3.7)在区域内,方程(3.4)的解是 (3.8)按照公式(1.5) 定态波函数是再分别乘上一个含时间因子. 由此看出(3.6)—(3.8) 三式右边第一项是由左向右传播的平面波,第二项是由右向左传播的平面波.在区域内,没有由右向左运动的粒子,因而只应有向右传播的透射波,不应有向左传播的波,所以在(3.8)式中必须令 (3.9)在和均可以用波函数和波函数导数的连续条件(1.8)和(1.9)来确定函数中的其它系数.由,我们有由有由,有由有解这一组方程组,可以得出和的关系是 (3.10) (3.11)(3.10)和(3.11)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系.由这两式可以求出透射系数为: (3.12)反射系数为: (3.13)由上两式可见,和都小于1, 和之和等于1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒区域,另一部分被势垒反射回去..特别要注意当,时,反射为零,透射系数,产生所谓共振透射.此时只有透射波而没有反射波. 从系数方程解得:令我们得到波函数的形式为: (3.14) (3.15) (3.16)图3.2 取时粒子几率密度分布.图3.3 取时的粒子几率密度分布.图3.4 取时的粒子几率密度分布.图3.5 取时的粒子几率密度分布.设,势垒宽度分别为、、和分别画出粒子分布的几率密度图3.2、图3.3、图3.4和图3.5.其中图3.5对应共振散射的情形.图3.6取时的粒子几率密度分布.图3..7取时的粒子几率密度分布.如果我取、而分别令为1和0.1我们得到图3.6、图3.7.从两图中可以看出当,当减小,对应势垒增高.相应的粒子穿过势垒的几率变小,反射几率增大,反射波的强度与入射波的强度接近.所以在的区域内入射波与反射波干涉相消使得一些点波函数的密谋接近零.3.3 情况这时是虚数,令则是实数: (3.17)把换成,前面的计算仍然成立. 经过简单计算后(3.10)式可改写为 (3.18)透射系数的公式可改写为 (3.19)在(3.14)、(3.15)和(3.16)式样中分别令和可画出在时粒子分布的几率图3.8和图3.9.由图可以看出当势垒变高变宽透射过势垒粒子的几率迅速减小.从而同样使反射的几率增加.与的情况类似,这时反射波的强度和入射波的强度接近从而使在的区域中入射波和反射波的干涉出现相消而使得一些点上找到粒子的几率接近于零.图3.8 取时的粒子几率密度分布.图3.9 取时的粒子几率密度分布.3.4 情况对于情况,我们选择较“不透明的势垒”,即满足,此时有图3.10 透射系数与关系曲线图由(3.19)式可以给出和的关系图3.10,当时,,当所选参数满足时,,在图3.10中当时, .总 结我们在本文中对粒子在一维阶梯势垒和方形势垒的散射中的可能存在的各种情况作了较详细的讨论.并根据所给出的波函数用数值计算的方法画了粒子的几率密度曲线.在存在阶梯势垒的情况,如果,在的区域由于入射波与反射波的干涉效应,几率密度呈现出随的变化而波动,而在的区域由于只有透射波存在,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);如果,透射系数为零,在的区域由于入射波与反射波振幅相同,干涉相消使得一些点几率密度为零,而在的区域由于透射波随着的增加而呈指数衰减,几率密度曲线很快单调下降至零.在方形势垒情况,如果有限,则透射波不为零.与阶梯势垒的情况类似,由于在的区域内只存在透射波,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);而在的区域由于存在入射波和反射波的干涉效应,使得粒子的几率密度随不同而波动.并且值得注意的是在方形势垒区域内,几率密度值也并非总是单调地减小,特别是发生共振透射时,在势垒中存在一明显的几率密度峰.注 释:[1] 文中长度单位取为单位长度.[2] 文中波矢单位取为单位波矢.参考文献:[1] 周世勋. 量子力学教程[M]. 北京: 高等教育出版社. 1979. 48～48[2] 曾谨言. 量子力学[M]. 3. 北京: 科学出版社. 1999. 108～108[3] J. Salmon. A. Gervat. [美] 顾世杰译. 量子力学[M]. 北京: 科学出版社. 1981. 165～166[4] E. H. Wichmann. [美] 复旦大学物理译. 量子物理学[M]. 北京: 科学出版社. 1978. 347～348[5] Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë. Quantum Mechanics[M]. Paris: Hermann. 1977. 67～68。