山西省大同市煤矿第四中学2020届高三数学下学期模拟考试试题（1）文本试卷共6 页 满分：150分 考试用时：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A． B． C． D．2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知圆，直线，若圆上总存在到直线的距离为的点，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，天共织布尺，则该女子织布每天增加（ ）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺5．已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．6．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为，则制作该手工表面积为（ ）A． B． C． D．7．在中，，，，则（ ）A． B． C．或 D．或8．从某中学抽取名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间，频率分布直方图如图所示，则对这名学生的阅读量判断正确的为（ ）A．的值为 B．平均数约为C．中位数大约为 D．众数约为9．已知椭圆左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．10．已知，则取得最小值时的值为（ ）A． B． C． D．11．已知函数的图象在处的切线与直线垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中的值可以为（ ）A． B． C． D．12．已知函数为上的奇函数，且满足，，则（ ）A． B． C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设，满足约束条件，若目标函数的最大值与最小值分别为，，则 ．14．，，，的夹角为，则与的夹角为 ．15．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．16．已知点到直线的最大距离为，则 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在正项等比数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．18．（12分）新高考最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生，女生各人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多人．（1）请完成下面的列联表；（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；（3）现从这名学生中已经选取了男生名，女生名进行座谈，从中抽取名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．附：，其中．19．（12分）如图，已知四棱锥中，平面，为等边三角形，，是的中点．（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离．20．（12分）已知抛物线，其焦点为，直线过点与交于、两点，当的斜率为时，．（1）求的值；（2）在轴上是否存在一点满足（点为坐标原点）？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数，．（1）设函数，若是函数的唯一极值点，求实数的取值范围；（2）若函数有两个零点，，证明：．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23．（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围．文科数学参考答案及评分标准一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 【答案】A【解析】由，得，即，由，得，所以，所以．2． 【答案】A【解析】由，得，所以在复平面内对应的点位于第一象限．3． 【答案】B【解析】若圆上只有一点到直线的距离为时，圆心到直线的距离为，故要使圆上总存在到直线的距离为的点，则圆心到直线的距离，即，即．4． 【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项，前项的和，求公差，由等差数列的前项公式可得，，解得．5． 【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，故有，即，，所以，所以．6． 【答案】D【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一，且圆锥的底面半径为，高为，故母线长为，故每部分的表面积为，故两部分表面积为．7． 【答案】D【解析】，所以，所以或，当时，由余弦定理可得，，同理，时，．8．【答案】C【解析】由，解得，故A错；由A可知，，所以平均数为，故B错误；居民月用电量在的频率为，居民月用电量在的频率为：，∴这户居民月用电量的中位数大约为，故C正确；由频率分布直方图可知，众数大约为，故D错误．9． 【答案】C【解析】由，得，当最小且最大时，取得最小值，所以，所以，所以离心率．10． 【答案】C【解析】，当且仅当，即时等号成立，所以=．11． 【答案】B【解析】，则的图象在处的切线斜率，由于切线与直线垂直，则有，则，所以，所以，所以，由于输出的的值为，故总共循环了次，此时，故的值可以为．12． 【答案】C【解析】由为上的奇函数，且，得，故函数的周期为，所以，所以．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】，满足约束条件的可行域如下图，由，得；由，得，将目标函数化为，由图可知，当直线经过点时目标函数取得最小值，所以；当直线经过点时目标函数取得最大值，所以，所以有．14． 【答案】【解析】，所以，设与的夹角为，则，又因为，所以．15．【答案】【解析】设外接圆的半径为，则，∴，设三棱锥外接球的半径为，则，故外接球的表面积．16．【答案】或【解析】点到直线的距离，当时，，所以；当时，，所以．综上，或．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在正项等比数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）设公比为，则由题意可知：，又，所以，所以=．（2），∴．18．（12分）新高考最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生，女生各人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多人．（1）请完成下面的列联表；（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；（3）现从这名学生中已经选取了男生名，女生名进行座谈，从中抽取名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．附：，其中．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）依题意可得列联表：（2），∴的把握认为选择全理与性别有关．（3）设名男生分别为，，，两名女生分别为，．从名学生中抽取名所有的可能为，，，共种，不包含女生的基本事件有，共种，故所求概率．19．（12分）如图，已知四棱锥中，平面，为等边三角形，，是的中点．（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵平面，平面，∴，∵，是的中点，∴，又，∴平面．（2）∵，平面，∴平面，∴，∴．同理在中，，在梯形中，易得．所以等腰底边上的高为，所以，又，∵，平面，∴平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，∵，∴．设点到平面的距离为，则由，得，所以．∵点为的中点，∴点到平面的距离为．20．（12分）已知抛物线，其焦点为，直线过点与交于、两点，当的斜率为时，．（1）求的值；（2）在轴上是否存在一点满足（点为坐标原点）？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1），当直线的斜率为时，其方程为，设，，由，得，把代入抛物线方程得，所以，所以，所以．（2）由（1）可知，抛物线，，由题意可知，直线的斜率存在，设其方程为，将其代入抛物线方程为，则，，假设在轴上存在一点满足，则，即，即，所以，即，由于，所以，即，即在轴上存在点满足．21．（12分）已知函数，．（1）设函数，若是函数的唯一极值点，求实数的取值范围；（2）若函数有两个零点，，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】由，可得，∵函数有唯一极值点，∴，即恒成立，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，所以，即实数的取值范围是．（2），∵，是函数的两个零点，∴，，∴，∴．要证，即证．设，则等价于，即证，令，且，即证，则，则,令，则，故在上单调递增，故，所以函数在上单调递增，所以．即对任意恒成立，所以．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵，∴，∴，即．（2）将直线的参数方程（为参数）代入的普通方程，得，则，，所以，所以，即的最大值为．【选修4-5：不等式选讲】23．（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）当时，原不等式可化为，无解；当时，原不等式可化为，从而；当时，原不等式可化为，从而．综上，原不等式的解集为．（2）由得，又，所以，即，解得，所以的取值范围为．16。
